Determine a derivada das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Aparecem operações compostas: logaritmo natural
, soma e raiz quadrada . - Implicitamente existe uma restrição de domínio vinda da raiz quadrada e do logaritmo (vamos tratar isso mais tarde).
A pergunta é: qual é
para essa função?
Passo 2
Estratégia (explicada sem formalismos difíceis): quando temos uma função formada por outra dentro de outra (por exemplo,
onde “algo” depende de
), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, de forma simples: se
, então
Aqui vamos identificar
e aplicar essa regra. Vou explicar cada passo de cálculo de
com calma.
Passo 3
Relembrando a derivada de
: se
com
e
dependente de
, então
Isto é a aplicação direta da regra da cadeia ao logaritmo. Agora identificamos
e calculamos
.
Passo 4
Definimos explicitamente
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então
A primeira parcela é fácil:
. Agora vamos calcular a derivada da raiz.
Passo 5
Derivada da raiz: escrevemos
. Usamos a regra da cadeia novamente: se
então
tem derivada
. Assim,
Expliquei: primeiro baixa o expoente (
), multiplica por derivada interna
, e simplifica o
.
Passo 6
Somando as parcelas obtemos
Para simplificar essa expressão e preparar a substituição em
, vamos escrever
com denominador comum
:
Então
Passo 7
Repare que
é precisamente
. Ou seja, usamos a definição de
e vemos que
Isso é uma observação prática muito útil: a derivada do interior ficou proporcional ao próprio interior.
Passo 8
Aplicando agora a fórmula para
, temos
Cortando
no numerador e denominador (desde que
), obtemos a expressão muito simples
Passo 9
Discussão sobre domínio e sinais (importante para a prova): para que tudo faça sentido inicialmente precisamos de
, ou seja
. Além disso o argumento do
,
, precisa ser positivo. Para
temos
e
. Para
o valor
é não positivo (por exemplo em
dá negativo), então a função original não está definida ali para o logaritmo real. Portanto o domínio real da função dada é
. No ponto
a raiz é zero e a derivada tende a infinito (não é finita), então a expressão
vale para
.
Passo 10
Exemplo numérico rápido para conferir a sensação: em
, a fórmula dá
Se você aproximar numericamente a derivada com um quociente incremental vai ver um valor próximo a
, o que confirma o resultado.