Determine a derivada das seguintes funções:
y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right),

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
y=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é y=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr).
  • Aparecem operações compostas: logaritmo natural \ln(\cdot), soma e raiz quadrada \sqrt{\cdot}.
  • Implicitamente existe uma restrição de domínio vinda da raiz quadrada e do logaritmo (vamos tratar isso mais tarde).
A pergunta é: qual é y'=\dfrac{dy}{dx} para essa função?

Passo 2

Estratégia (explicada sem formalismos difíceis): quando temos uma função formada por outra dentro de outra (por exemplo, \ln(\text{algo}) onde “algo” depende de x), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, de forma simples: se y=\ln(u(x)), então
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui vamos identificar u(x)=x+\sqrt{x^{2}-1} e aplicar essa regra. Vou explicar cada passo de cálculo de u'(x) com calma.

Passo 3

Relembrando a derivada de \ln: se y=\ln(u) com u>0 e u dependente de x, então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}.
Isto é a aplicação direta da regra da cadeia ao logaritmo. Agora identificamos u(x) e calculamos \dfrac{du}{dx}.

Passo 4

Definimos explicitamente
u(x)=x+\sqrt{x^{2}-1}.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr).
A primeira parcela é fácil: \dfrac{d}{dx}(x)=1. Agora vamos calcular a derivada da raiz.

Passo 5

Derivada da raiz: escrevemos \sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{1/2}. Usamos a regra da cadeia novamente: se v(x)=(x^{2}-1) então (v)^{1/2} tem derivada \dfrac{1}{2}(v)^{-1/2}\cdot v'. Assim,
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)=\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Expliquei: primeiro baixa o expoente ( 1/2), multiplica por derivada interna 2x, e simplifica o 2.

Passo 6

Somando as parcelas obtemos
u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Para simplificar essa expressão e preparar a substituição em y'=\dfrac{u'}{u}, vamos escrever 1 com denominador comum \sqrt{x^{2}-1}:
1=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Então
u'(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 7

Repare que \sqrt{x^{2}-1}+x é precisamente u(x). Ou seja, usamos a definição de u e vemos que
u'(x)=\frac{u(x)}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Isso é uma observação prática muito útil: a derivada do interior ficou proporcional ao próprio interior.

Passo 8

Aplicando agora a fórmula para y'=\dfrac{u'}{u}, temos
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\dfrac{u(x)}{\sqrt{x^{2}-1}}}{u(x)}.
Cortando u(x) no numerador e denominador (desde que u(x)\neq0), obtemos a expressão muito simples
y'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 9

Discussão sobre domínio e sinais (importante para a prova): para que tudo faça sentido inicialmente precisamos de x^{2}-1\ge 0, ou seja |x|\ge 1. Além disso o argumento do \ln, u(x)=x+\sqrt{x^{2}-1}, precisa ser positivo. Para x\ge1 temos \sqrt{x^{2}-1}\ge0 e x+\sqrt{x^{2}-1}>0. Para x\le-1 o valor x+\sqrt{x^{2}-1} é não positivo (por exemplo em x=-2 dá negativo), então a função original não está definida ali para o logaritmo real. Portanto o domínio real da função dada é x\ge1. No ponto x=1 a raiz é zero e a derivada tende a infinito (não é finita), então a expressão y'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} vale para x>1.

Passo 10

Exemplo numérico rápido para conferir a sensação: em x=2, a fórmula dá
y'=\frac{1}{\sqrt{2^{2}-1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Se você aproximar numericamente a derivada com um quociente incremental vai ver um valor próximo a 1/\sqrt{3}, o que confirma o resultado.

Resposta

y'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}},\quad x>1

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