Considere x como uma variável independente e y como a variável dependente, encontre d y / d x.

Passo 1

O enunciado pede que você encontre \dfrac{dy}{dx}, considerando x como variável independente e y como variável dependente. As informações dadas no enunciado são apenas:
\text{“considere }x\text{ independente e }y\text{ dependente”}
Não foi fornecida nenhuma relação explícita ou implícita entre x e y (por exemplo, uma expressão y=f(x) ou uma equação F(x,y)=0).

Passo 2

Antes de tentar calcular, é preciso perceber uma coisa crucial: para obter \dfrac{dy}{dx} precisamos saber como y depende de x. Sem uma relação entre x e y não há única derivada a ser calculada. Então, ou temos:
  • uma expressão explícita do tipo y=f(x), ou
  • uma equação implícita do tipo F(x,y)=0, ou
  • uma descrição paramétrica x=x(t),\,y=y(t).
Vou te ensinar, passo a passo, como proceder em cada caso para que, quando você tiver a relação correta, consiga calcular \dfrac{dy}{dx} na prova.

Passo 3

Se y é dada explicitamente como y=f(x): usamos as regras usuais de diferenciação. Relembrando as regras mais usadas:
  • Regra da potência: para y=x^n,
\frac{dy}{dx}=n x^{n-1},
onde n é um número real.
  • Regra da soma: para y=u(x)+v(x),
\frac{dy}{dx}=u'(x)+v'(x).
  • Regra do produto: para y=u(x)\cdot v(x),
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Regra do quociente: para y=\dfrac{u(x)}{v(x)},
\frac{dy}{dx}=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.
  • Regra da cadeia: para y=g(h(x)),
\frac{dy}{dx}=g'(h(x))\cdot h'(x).
Eu sei que parece muita coisa, mas é só decorar a ideia: derive a “parte externa” mantendo a interna e multiplique pela derivada da interna. Vamos ver um exemplo simples bem mastigado.

Passo 4

Exemplo explícito 1 (bem simples): seja y=x^3-5x.
Aplicamos a regra da potência e da soma termo a termo.
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-5\frac{d}{dx}(x)=3x^2-5.
Explicando: \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2 pela regra da potência; \frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 5

Exemplo explícito 2 (cadeia): seja y=(2x+1)^4.
Usamos a regra da cadeia: a função externa é g(u)=u^4 e a interna é u=2x+1.
\frac{dy}{dx}=4(2x+1)^3\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=4(2x+1)^3\cdot 2=8(2x+1)^3.
Passo a passo: derive u^4 -> 4u^3, substitua u=2x+1, multiplique por derivada de 2x+1 que é 2.

Passo 6

Se y está definida implicitamente por uma equação F(x,y)=0: usamos diferenciação implícita. A ideia é derivar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é função de x (ou seja, ao derivar termos com y usamos a regra da cadeia e introduzimos \dfrac{dy}{dx}). Depois isolamos \dfrac{dy}{dx}.
Vou mostrar o procedimento geral com um exemplo clássico.

Passo 7

Exemplo implícito clássico: seja a circunferência
x^2+y^2=1.
Derivamos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(1).
Calculando termo a termo:
2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0,
porque \dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot\dfrac{dy}{dx} pela regra da cadeia. Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
2y\frac{dy}{dx} = -2x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
Observe que a derivada depende de x e y; às vezes você pode substituir y em termos de x se tiver a expressão explícita para um ramo da curva.

Passo 8

Exemplo implícito com produto e quociente: se tivermos
x\,y + \sin(y) = x^2,
derivamos ambos os lados:
\frac{d}{dx}(x y) + \frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dx}(x^2).
Aplicando regra do produto e cadeia:
1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx} + \cos(y)\cdot\frac{dy}{dx} = 2x.
Juntando termos com \dfrac{dy}{dx}:
\left(x+\cos(y)\right)\frac{dy}{dx}=2x-y,
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\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+\cos(y)}.
Esse é o tipo de manipulação que aparece em prova: derive termo a termo, aplique cadeia quando aparecer y, isole \dfrac{dy}{dx}.

Passo 9

Se x e y são dados parametricamente por x=x(t) e y=y(t), então
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0. Exemplo: x=t^2,\\ y=\sin t
\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{2t}.

Passo 10

Resumo prático para a prova (o que você deve fazer quando aparecer um enunciado):
  1. Identifique se a relação é explícita ( y=f(x)), implícita ( F(x,y)=0) ou paramétrica.
  2. Use as regras básicas (potência, produto, quociente, cadeia) para derivar termo a termo.
  3. Em caso implícito, derive ambos os lados em relação a x, coloque todos os termos com \dfrac{dy}{dx} num lado e isole \dfrac{dy}{dx}.
  4. Em caso paramétrico, calcule \dfrac{dy/dt}{dx/dt}.
    Se você me mandar a relação entre x e y, já faço a conta passo a passo como nos exemplos acima — e te deixo confiante pra prova.

Resposta

Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx} sem uma relação entre x e y.

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