Considere x como uma variável independente e y como a variável dependente, encontre
.
Passo 1
O enunciado pede que você encontre
, considerando
como variável independente e
como variável dependente. As informações dadas no enunciado são apenas:
Não foi fornecida nenhuma relação explícita ou implícita entre
e
(por exemplo, uma expressão
ou uma equação
).
Passo 2
Antes de tentar calcular, é preciso perceber uma coisa crucial: para obter
precisamos saber como
depende de
. Sem uma relação entre
e
não há única derivada a ser calculada. Então, ou temos:
- uma expressão explícita do tipo
, ou - uma equação implícita do tipo
, ou - uma descrição paramétrica
.
Vou te ensinar, passo a passo, como proceder em cada caso para que, quando você tiver a relação correta, consiga calcular
na prova.
Passo 3
Se
é dada explicitamente como
: usamos as regras usuais de diferenciação. Relembrando as regras mais usadas:
- Regra da potência: para
,
onde
é um número real.
- Regra da soma: para
,
- Regra do produto: para
,
- Regra do quociente: para
,
- Regra da cadeia: para
,
Eu sei que parece muita coisa, mas é só decorar a ideia: derive a “parte externa” mantendo a interna e multiplique pela derivada da interna. Vamos ver um exemplo simples bem mastigado.
Passo 4
Exemplo explícito 1 (bem simples): seja
.
Aplicamos a regra da potência e da soma termo a termo.
Aplicamos a regra da potência e da soma termo a termo.
Explicando:
pela regra da potência;
.
Passo 5
Exemplo explícito 2 (cadeia): seja
.
Usamos a regra da cadeia: a função externa é e a interna é
.
Usamos a regra da cadeia: a função externa é
Passo a passo: derive
->
, substitua
, multiplique por derivada de
que é
.
Passo 6
Se
está definida implicitamente por uma equação
: usamos diferenciação implícita. A ideia é derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é função de
(ou seja, ao derivar termos com
usamos a regra da cadeia e introduzimos
). Depois isolamos
.
Vou mostrar o procedimento geral com um exemplo clássico.
Passo 7
Exemplo implícito clássico: seja a circunferência
Derivamos ambos os lados em relação a
:
Calculando termo a termo:
porque
pela regra da cadeia. Agora isolamos
:
Observe que a derivada depende de
e
; às vezes você pode substituir
em termos de
se tiver a expressão explícita para um ramo da curva.
Passo 8
Exemplo implícito com produto e quociente: se tivermos
derivamos ambos os lados:
Aplicando regra do produto e cadeia:
Juntando termos com
:
logo
Esse é o tipo de manipulação que aparece em prova: derive termo a termo, aplique cadeia quando aparecer
, isole
.
Passo 9
Se
e
são dados parametricamente por
e
, então
desde que
. Exemplo:
dá
Passo 10
Resumo prático para a prova (o que você deve fazer quando aparecer um enunciado):
- Identifique se a relação é explícita (
), implícita ( ) ou paramétrica. - Use as regras básicas (potência, produto, quociente, cadeia) para derivar termo a termo.
- Em caso implícito, derive ambos os lados em relação a
, coloque todos os termos com num lado e isole . - Em caso paramétrico, calcule
.
Se você me mandar a relação entree , já faço a conta passo a passo como nos exemplos acima — e te deixo confiante pra prova.
Resposta
Não é possível determinar
sem uma relação entre
e
.