Obtenha a solução das seguintes equações diferenciais ordinárias utilizando o método de série de potênciais.
y^{\prime \prime}-(1+x) y=0.

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução da equação diferencial ordinária
y''-(1+x)y=0
usando o método de séries de potências. Informações dadas e o que se espera:
  • A equação é homogênea e de segunda ordem em x.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x) escrita como série de potências em torno de x=0.
  • Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral terá duas constantes arbitrárias (uma para cada grau da liberdade da EDO de segunda ordem).

Passo 2

Ideia do método de séries de potências (explicação didática e sem pular etapas):
  • Supomos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
  • Como a equação é linear e os coeficientes são polinômios em x, essa hipótese é válida (ponto regular).
  • Vamos obter expressões para y' e y'', substituir na EDO, igualar coeficientes de cada potência de x e obter uma relação de recorrência entre os a_n. Os dois coeficientes iniciais a_0 e a_1 ficarão livres (constantes da solução geral).

Passo 3

Calcular as derivadas em série e reindexar para alinhar potências:
  • Diferenciando termo a termo,
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
  • Expandimos também (1+x)y:
(1+x)y = y + x y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}.
Reindexando o segundo somatório para potências x^n,
x y = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n,
portanto
(1+x)y = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + a_{n-1}) x^n.

Passo 4

Substituir na EDO e igualar coeficientes de x^n:
  • A equação y''-(1+x)y=0 fica, após substituir as séries,
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - \left(a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + a_{n-1}) x^n\right)=0.
  • Igualando coeficientes da potência x^0 (termo independente):
(0+2)(0+1)a_2 - a_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2 a_2 = a_0 \quad\Longrightarrow\quad a_2=\frac{a_0}{2}.
  • Para n\ge 1, igualando coeficiente de x^n:
(n+2)(n+1) a_{n+2} - (a_n + a_{n-1}) = 0.
Logo obtemos a relação de recorrência
a_{n+2}=\frac{a_n + a_{n-1}}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge 1.
(Convenientemente, se definirmos a_{-1}=0 a recorrência vale também para n=0 e dá a_2=a_0/2.)

Passo 5

Interpretação da recorrência e liberdade inicial:
  • A EDO é de segunda ordem, então temos dois coeficientes livres: a_0 e a_1. Eles representam as duas constantes arbitrárias da solução geral.
  • Podemos construir duas soluções fundamentais escolhendo:
    • solução y^{(0)} com a_0=1,\;a_1=0;
    • solução y^{(1)} com a_0=0,\;a_1=1.
      A solução geral é combinação linear:
y(x)=C_1 y^{(0)}(x) + C_2 y^{(1)}(x),
onde C_1=a_0 e C_2=a_1.

Passo 6

Cálculo explícito dos primeiros coeficientes (mostrando como praticar na prova, passo a passo):
Usando a recorrência a_{n+2}=(a_n+a_{n-1})/((n+2)(n+1)) e começando com a_0 e a_1, obtemos:
  • a_2=\dfrac{a_0}{2!}.
  • a_3=\dfrac{a_1+a_0}{3!}.
  • a_4=\dfrac{a_2+a_1}{4\cdot3}=\dfrac{a_0+2a_1}{4!}.
  • a_5=\dfrac{a_3+a_2}{5\cdot4}=\dfrac{a_1+4a_0}{5!}.
  • a_6=\dfrac{a_4+a_3}{6\cdot5}=\dfrac{5a_0+6a_1}{6!}.
  • a_7=\dfrac{a_5+a_4}{7\cdot6}=\dfrac{9a_0+11a_1}{7!}.
    Observação útil: os denominadores aparecem como n! para esses primeiros termos, o que facilita cálculo manual na prova.

Passo 7

Escrever as duas séries fundamentais até termos de ordem razoável (pra você decorar o procedimento e checar no exame):
  • Para a_0=1,\;a_1=0 (primeira solução fundamental):
y^{(0)}(x)=1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{30}x^5+\frac{1}{144}x^6+\frac{1}{560}x^7+\cdots
  • Para a_0=0,\;a_1=1 (segunda solução fundamental):
y^{(1)}(x)=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{120}x^6+\frac{11}{5040}x^7+\cdots
  • Portanto a solução geral é
y(x)=C_1\,y^{(0)}(x)+C_2\,y^{(1)}(x),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 8

Observação complementar (opcional, só para você saber): com a mudança de variável t=x+1 a equação se transforma em
y''-t y=0,
que é a equação de Airy. Assim a solução também pode ser escrita em termos das funções de Airy:
y(x)=\tilde C_1\,\mathrm{Ai}(x+1)+\tilde C_2\,\mathrm{Bi}(x+1),
mas a derivação por séries que fizemos dá exatamente as expansões de Taylor dessas funções centradas em x=0.

Resposta

\boxed{y(x)=C_1\,y^{(0)}(x)+C_2\,y^{(1)}(x)}
\boxed{y^{(0)}(x)=1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{30}x^5+\frac{1}{144}x^6+\frac{1}{560}x^7+\cdots}
\boxed{y^{(1)}(x)=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{120}x^6+\frac{11}{5040}x^7+\cdots}
\boxed{\text{Recorrência: }a_{n+2}=\dfrac{a_n+a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}\quad\text{(com \(a_0=C_1,\;a_1=C_2\) e \(a_{-1}=0\)).}}ê

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