Obtenha a solução das seguintes equações diferenciais ordinárias utilizando o método de série de potênciais.
.
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução da equação diferencial ordinária
usando o método de séries de potências. Informações dadas e o que se espera:
- A equação é homogênea e de segunda ordem em
. - Precisamos encontrar a solução geral
escrita como série de potências em torno de . - Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral terá duas constantes arbitrárias (uma para cada grau da liberdade da EDO de segunda ordem).
Passo 2
Ideia do método de séries de potências (explicação didática e sem pular etapas):
- Supomos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
onde os
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
- Como a equação é linear e os coeficientes são polinômios em
, essa hipótese é válida (ponto regular). - Vamos obter expressões para
e , substituir na EDO, igualar coeficientes de cada potência de e obter uma relação de recorrência entre os . Os dois coeficientes iniciais e ficarão livres (constantes da solução geral).
Passo 3
Calcular as derivadas em série e reindexar para alinhar potências:
- Diferenciando termo a termo,
- Expandimos também
:
Reindexando o segundo somatório para potências
,
portanto
Passo 4
Substituir na EDO e igualar coeficientes de
:
- A equação
fica, após substituir as séries,
- Igualando coeficientes da potência
(termo independente):
- Para
, igualando coeficiente de :
Logo obtemos a relação de recorrência
(Convenientemente, se definirmos
a recorrência vale também para
e dá
.)
Passo 5
Interpretação da recorrência e liberdade inicial:
- A EDO é de segunda ordem, então temos dois coeficientes livres:
e . Eles representam as duas constantes arbitrárias da solução geral. - Podemos construir duas soluções fundamentais escolhendo:
- solução
com ; - solução
com .
A solução geral é combinação linear:
- solução
onde
e
.
Passo 6
Cálculo explícito dos primeiros coeficientes (mostrando como praticar na prova, passo a passo):
Usando a recorrência e começando com
e
, obtemos:
Usando a recorrência
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Observação útil: os denominadores aparecem comopara esses primeiros termos, o que facilita cálculo manual na prova.
Passo 7
Escrever as duas séries fundamentais até termos de ordem razoável (pra você decorar o procedimento e checar no exame):
- Para
(primeira solução fundamental):
- Para
(segunda solução fundamental):
- Portanto a solução geral é
com
constantes arbitrárias.
Passo 8
Observação complementar (opcional, só para você saber): com a mudança de variável
a equação se transforma em
que é a equação de Airy. Assim a solução também pode ser escrita em termos das funções de Airy:
mas a derivação por séries que fizemos dá exatamente as expansões de Taylor dessas funções centradas em
.