Determine a derivada das seguintes funções:
y=\sqrt{1+\cos \left(t^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y em função de t, onde a função é
y=\sqrt{1+\cos\left(t^{2}\right)}.
Informações relevantes: a variável independente é t; a função é uma raiz quadrada de uma soma que envolve o cosseno de t^{2}. A pergunta explícita é: calcular \dfrac{dy}{dt}.

Passo 2

Reescrevo a função de forma mais conveniente para diferenciar, usando potência:
y=\left(1+\cos\left(t^{2}\right)\right)^{1/2}.
Vou usar uma notação intermediária: defino u(t)=1+\cos\left(t^{2}\right). Então y=u^{1/2}. Isso facilita aplicar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro derivar a potência externa em função de u, depois derivar u em função de t.

Passo 3

Regra para a derivada de uma potência: se y=u^{1/2} com u=u(t), então
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot\frac{du}{dt}.
Aqui a interpretação das letras: u é a expressão interna 1+\cos(t^{2}); \frac{du}{dt} é a derivada dessa expressão em relação a t. A fórmula acima é a aplicação direta da regra da cadeia combinada com a fórmula da derivada de u^{n}.

Passo 4

Agora calculo \dfrac{du}{dt}. Como u(t)=1+\cos\left(t^{2}\right), a derivada de 1 é 0 e resta derivar \cos\left(t^{2}\right). Usando a regra da cadeia para \cos(v) (a derivada de \cos(v) em relação a v é -\sin(v)), com v=t^{2}, tenho:
\frac{d}{dt}\cos\left(t^{2}\right)=-\sin\left(t^{2}\right)\cdot\frac{d}{dt}\left(t^{2}\right).
A derivada de \,t^{2}\, é 2t. Portanto
\frac{du}{dt}=-\sin\left(t^{2}\right)\cdot 2t = -2t\sin\left(t^{2}\right).

Passo 5

Substituo \dfrac{du}{dt} na expressão para \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\left(1+\cos\left(t^{2}\right)\right)^{-1/2}\cdot\big(-2t\sin\left(t^{2}\right)\big).
Simplifico o fator \dfrac{1}{2}\cdot(-2t) = -t. Logo
\frac{dy}{dt}=-t\sin\left(t^{2}\right)\left(1+\cos\left(t^{2}\right)\right)^{-1/2}.
Posso reescrever de forma mais habitual colocando a raiz no denominador:
\frac{dy}{dt}=-\dfrac{t\sin\left(t^{2}\right)}{\sqrt{1+\cos\left(t^{2}\right)}}.

Resposta

\frac{dy}{dt}=-\dfrac{t\sin\left(t^{2}\right)}{\sqrt{1+\cos\left(t^{2}\right)}}.

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