Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado. Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente é em
. - A fórmula da reta tangente fornecida é
Logo precisamos de duas coisas: o ponto
e a derivada
avaliada em
.
Passo 2
Calcular o ponto
. Substituindo
em
:
Explicando:
e
(isso vem da definição da exponencial), portanto
Então o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora precisamos da derivada
. Vou explicar as regras usadas:
- Regra do poder (power rule): se
então . Ex.: . - Derivada da exponencial:
. Assim, porque constantes multiplicativas saem na frente.
Aplicando termo a termo em
:
Passo 4
Avaliar a derivada em
:
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente no ponto é
, ou seja, a reta sobe
unidades em
para cada
unidade em
perto de
.
Passo 5
Usar a fórmula da reta tangente com
,
e
:
Simplificando: