Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
f(x)=x^{4}+2 e^{x} ; x=0
y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{4}+2e^{x}.
  • O ponto onde queremos a tangente é em x_{0}=0.
  • A fórmula da reta tangente fornecida é
y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\cdot\left(x-x_{0}\right).
Logo precisamos de duas coisas: o ponto y_{0}=f(x_{0}) e a derivada f^{\prime}(x) avaliada em x_{0}.

Passo 2

Calcular o ponto y_{0}=f(x_{0}). Substituindo x_{0}=0 em f(x):
y_{0}=f(0)=0^{4}+2e^{0}.
Explicando: 0^{4}=0 e e^{0}=1 (isso vem da definição da exponencial), portanto
y_{0}=0+2\cdot 1=2.
Então o ponto de tangência é \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=(0,2).

Passo 3

Agora precisamos da derivada f^{\prime}(x). Vou explicar as regras usadas:
  • Regra do poder (power rule): se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Assim, \dfrac{d}{dx}\bigl(2e^{x}\bigr)=2e^{x} porque constantes multiplicativas saem na frente.
Aplicando termo a termo em f(x)=x^{4}+2e^{x}:
f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2e^{x}\bigr)=4x^{3}+2e^{x}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x_{0}=0:
f^{\prime}(0)=4\cdot 0^{3}+2e^{0}=0+2\cdot 1=2.
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente no ponto é 2, ou seja, a reta sobe 2 unidades em y para cada 1 unidade em x perto de x=0.

Passo 5

Usar a fórmula da reta tangente com x_{0}=0, y_{0}=2 e f^{\prime}(0)=2:
y-2=2\cdot(x-0).
Simplificando:
y-2=2x \quad\Rightarrow\quad y=2x+2.

Resposta

y=2x+2

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