Determine a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
y=(1+x^2) arctg(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de segunda ordem de uma função definida por y=(1+x^2)arctan(x). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada da função arctan(x), e vamos precisar aplicar primeiro a derivada de primeiro grau para depois obter a derivada de segundo grau.

Passo 2

Para achar a derivada de primeiro grau usamos a regra do produto: se y=u(x)v(x), então y'=u'v+uv'. Aqui u(x)=1+x^2 e v(x)=arctan(x). Calculamos:
u'(x)=2x, v'(x)=11+x^2
Logo:
y'=2x,arctan(x)+(1+x^2)cdot11+x^2=2x,arctan(x)+1

Passo 3

Agora, para a derivada de segundo grau, derivamos y'=2x,arctan(x)+1. A constante some, sobrando só a derivada do termo 2x,arctan(x). Aplicando novamente a regra do produto com a(x)=2x e b(x)=arctan(x):
a'(x)=2, b'(x)=11+x^2
Então:
y''=2cdotarctan(x)+2xcdot11+x^2

Passo 4

Podemos deixar o resultado bem legível, observando que não há mais simplificação essencial além de manter a soma de termos.

Resposta

y''=2arctan(x)+2x1+x^2

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