Demonstre que a função y=12 x^2 e^x, satisfaz a equação diferencial y^prime prime-2 y^prime+y=e^x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função y=tfrac12 x^2 e^x satisfaz a equação diferencial y''-2y'+y=e^x. O conteúdo é derivação de funções produto e substituição em EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada y'. Como y=tfrac12x^2 e^x, aplicando a regra do produto temos:
y' = tfrac12l(2x e^x + x^2 e^xr) = l(x + tfracx^22r)e^x

Passo 3

Agora derivamos y' para obter y''. Seja u(x)=x+tfracx^22 e v(x)=e^x. Então
y'' = l(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)r) = l(1 + xr)e^x + l(x + tfracx^22r)e^x = l(1 + 2x + tfracx^22r)e^x

Passo 4

Substituímos y,y',y'' em y'' - 2y' + y e fatoramos e^x:
y'' - 2y' + y = l(1 + 2x + tfracx^22r)e^x - 2l(x + tfracx^22r)e^x + tfracx^22e^x
Dentro dos parênteses:
1 + 2x + tfracx^22 - 2x - x^2 + tfracx^22 = 1 + (2x-2x) + (tfracx^22+tfracx^22-x^2) = 1

Passo 5

Logo y''-2y'+y = 1cdot e^x = e^x, exatamente o lado direito da equação diferencial.

Resposta

A função y=tfrac12x^2e^x satisfaz y''-2y'+y=e^x.

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