Determine a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
A função dada é
. Vamos calcular a derivada de segunda ordem usando propriedades de logaritmo, regra da cadeia e, depois, a regra do quociente.
Passo 2
Podemos usar a propriedade
para simplificar a função. Assim,
[
y = \frac{1}{3},\ln\bigl(1 + x^2\bigr)
]
[
y = \frac{1}{3},\ln\bigl(1 + x^2\bigr)
]
Passo 3
Agora calculamos a derivada primeira. Aplicando a regra da cadeia em
e multiplicando por
:
[
y’ = \frac{1}{3}\cdot\frac{2x}{1 + x^2} = \frac{2x}{3,(1 + x^2)}
]
[
y’ = \frac{1}{3}\cdot\frac{2x}{1 + x^2} = \frac{2x}{3,(1 + x^2)}
]
Passo 4
Por fim, para obter a segunda derivada, derivamos
usando a regra do quociente:
[
y’’ = \frac{2}{3}\cdot\frac{(1+x^2)\cdot1 - x\cdot2x}{(1+x2)2} = \frac{2,(1 - x^2)}{3,(1 + x2)2}
]
[
y’’ = \frac{2}{3}\cdot\frac{(1+x^2)\cdot1 - x\cdot2x}{(1+x2)2} = \frac{2,(1 - x^2)}{3,(1 + x2)2}
]