Determine a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
y=ln (raiz[3]1+x^2)

Passo 1

A função dada é y = lnl(raiz[3]1 + x^2r). Vamos calcular a derivada de segunda ordem usando propriedades de logaritmo, regra da cadeia e, depois, a regra do quociente.

Passo 2

Podemos usar a propriedade lnl(a^br)=bln(a) para simplificar a função. Assim,
[
y = \frac{1}{3},\ln\bigl(1 + x^2\bigr)
]

Passo 3

Agora calculamos a derivada primeira. Aplicando a regra da cadeia em ln(1+x^2) e multiplicando por 1/3:
[
y’ = \frac{1}{3}\cdot\frac{2x}{1 + x^2} = \frac{2x}{3,(1 + x^2)}
]

Passo 4

Por fim, para obter a segunda derivada, derivamos y' = 2x3(1+x^2) usando a regra do quociente:
[
y’’ = \frac{2}{3}\cdot\frac{(1+x^2)\cdot1 - x\cdot2x}{(1+x2)2} = \frac{2,(1 - x^2)}{3,(1 + x2)2}
]

Resposta

y'' = tfrac2,(1 - x^2)3,(1 + x^2)^2

Exercícios relacionados