Determine, mas não calcule, a integral dupla da área da superfície dada.
(b) z=1+2 x+3 y+4 y^2, 1 <= x <= 4,0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para montar (mas não calcular) a integral dupla que dá a área da superfície definida por z = 1 + 2x + 3y + 4y^2 sobre o retângulo 1 <= x <= 4,;0 <= y <= 1. O conteúdo é cálculo de área de superfície de uma função de duas variáveis, e vamos precisar da fórmula que envolve as derivadas parciais.

Passo 2

Para usar a fórmula de área de superfície S, precisamos das derivadas parciais de z = f(x,y). Calculando:
partial fpartial x = 2,
partial fpartial y = 3 + 8y

Passo 3

A fórmula geral para a área é
S = integral duplaD raiz1 + l(fxr)^2 + l(fyr)^2,dA
e, substituindo as derivadas, o integrando fica
raiz1 + 2^2 + (3 + 8y)^2 = raiz5 + (3 + 8y)^2

Passo 4

Como o integrando não depende de x, podemos escrever a integral dupla como produto de uma integral em x pelo fator da largura do intervalo em x:
S = integralx=1^4!integraly=0^1 raiz5 + (3 + 8y)^2,dy,dx = l(integral1^4dxr) l(integral0^1 raiz5 + (3 + 8y)^2,dyr)

Passo 5

O primeiro fator é simplesmente 4 - 1 = 3, então a área fica escrita de forma mais enxuta.

Resposta

S = 3 integral0^1 raiz5 + (3 + 8y)^2,dy

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