Determine a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
y=ln (x+raiza^2+x^2)

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Vamos determinar a segunda derivada da função
y=lnl(x+raiza^2+x^2r)
Aqui o conteúdo é derivação de função composta, usando a regra da cadeia, a derivada de ln(u) e de raizv.

Passo 2

Cálculo da primeira derivada: Aplicamos a regra de ln(u):
y'=1x+raiza^2+x^2cdotl(1+xraiza^2+x^2r)
Agora somamos as frações internas:
y'=raiza^2+x^2+xraiza^2+x^2,(x+raiza^2+x^2)
E observe que raiza^2+x^2+x=x+raiza^2+x^2, cancelando termos iguais no numerador e denominador, resultando em
y'=1raiza^2+x^2

Passo 3

Cálculo da segunda derivada: Agora derivamos
y'=l(a^2+x^2r)^-1/2
Usando a regra da potência composta:
y''=-tfrac12l(a^2+x^2r)^-3/2cdot2x=-x(a^2+x^2)^3/2

Resposta

y''=-dfracx(a^2+x^2)^3/2

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