Utilizando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule as derivadas das função abaixo:
f(x)=(x^3-2 x)^ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função g(x)^h(x). O conteúdo envolvido é derivação de uma função na forma , e vamos usar derivação logarítmica junto com regras de derivação de logaritmos e produto.

Passo 2

Definimos y = f(x) e aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a derivação:
ln y = lnl(x^3 - 2xr) cdot ln(x)

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x, lembrando que y depende de x:
y'y = ddxl[ln(x)ln(x^3 -2x)r]

Passo 4

Usamos a regra do produto para derivar o lado direito. Primeiro derivada de ln(x) vezes ln(x^3-2x), depois ln(x) vezes derivada de ln(x^3-2x) (pela regra da cadeia):
ddx[ln(x)ln(x^3 -2x)] = 1xln(x^3 -2x) + ln(x)cdot 3x^2 -2x^3 -2x

Passo 5

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y e substituímos y = (x^3-2x)^ln(x):
y' &= y l[1xln(x^3 -2x) + ln(x)cdot 3x^2 -2x^3 -2xr] &= (x^3 -2x)^ln(x)l[ln(x^3 -2x)x + (3x^2 -2)ln(x)x^3 -2xr]

Resposta

f'(x) = (x^3 -2x)^ln(x)l[ln(x^3 -2x)x + (3x^2 -2)ln(x)x^3 -2xr].

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