Determine a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
y=e^x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de segunda ordem da função y = e^x^2. O conteúdo envolvido é diferenciação de funções compostas, usando a regra da cadeia, e depois aplicação da regra do produto para obter a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada y' aplicando a regra da cadeia. Se y = e^u(x) com u(x)=x^2, temos:
Derivada de e^u(x) é e^u(x) cdot u'(x).
Aqui, u'(x)=2x.
Portanto,
y' = e^x^2 cdot 2x = 2x,e^x^2

Passo 3

Agora, para obter a segunda derivada y'', derivamos y' = 2x,e^x^2 usando a regra do produto.
Seja f(x)=2x e g(x)=e^x^2.
Temos:
y'' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)
Sabendo que f'(x)=2 e que g'(x)=e^x^2cdot 2x (novamente a regra da cadeia), obtemos:
y'' = 2,e^x^2 + 2x,(2x,e^x^2) = 2e^x^2 + 4x^2e^x^2 = (2 + 4x^2)e^x^2

Resposta

y'' = (4x^2 + 2),e^x^2

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