Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(w)=13 cos ^3 w-1cos w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(w)=13cos^3 w-1cos w usando a regra da cadeia. Aqui vamos usar a regra da potência (derivada de u^n) junto com a derivada de cos w, que é -sin w.

Passo 2

Primeiro reescrevemos f(w) em potências de cos w:
f(w)=13cos^-3w - cos^-1w
Isso deixa claro que podemos aplicar a regra da potência a cada termo.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo 13cos^-3w. Usando a regra da potência e a cadeia:
  • Se u=cos w, então u'=-sin w.
  • Derivada de u^-3 é -3u^-4cdot u'.
  • Multiplicando pelo 1/3, temos
ddwl(tfrac13cos^-3wr)=13l(-3cos^-4wr)(-sin w)=sin w,cos^-4w

Passo 4

Agora derivamos o segundo termo -cos^-1w:
  • Novamente u=cos w e u'=-sin w.
  • Derivada de u^-1 é -1u^-2cdot u'.
  • Como já há o sinal -) à frente, obtemos
ddwl(-cos^-1wr)=-l(-1cos^-2wr)(-sin w)=-sin w,cos^-2w

Passo 5

Por fim, somamos as duas derivadas e simplificamos:
f'(w)=sin w,cos^-4w - sin w,cos^-2w
Fatorando sin w,cos^-4w e usando 1-cos^2w=sin^2w, obtemos
f'(w)=sin w,cos^-4wl(1-cos^2wr)=sin w,cos^-4w,sin^2w=sin^3wcos^4w

Resposta

f'(w)=dfracsin^3wcos^4w

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