Um engenheiro precisa encontrar o valor de √[10]e. Como ele não tem calculadora, precisará usar diferenciais (aproximações lineares) para estimar esse valor. Você poderia ajudá-lo?
(b) Calcule a derivada da função f(x)=e^senh(x^2-1) em x=1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  1. Aproximar raiz[10]e usando diferenciais (linearização).
  2. Calcular a derivada de f(x)=e^sinh(x^2-1) em x=1, aplicando regra da cadeia.

Passo 2

Para aproximar raiz[10]e, note que
raiz[10]e=e^1/10
Tomamos h(x)=e^x e escolhemos o ponto de expansão x0=0. Então
h(x0)=e^0=1, h'(x0)=e^0=1
A aproximação linear de h em torno de x0 é
L(x)=h(x0)+h'(x0),(x-x0)=1+1cdot x=1+x

Passo 3

Substituindo x=tfrac110 em L(x), obtemos
Ll(tfrac110r)=1+tfrac110=1,1
Logo, pela linearização,
raiz[10]e=e^1/10approx1,1

Passo 4

Para f(x)=e^sinh(x^2-1), definimos u(x)=sinh(x^2-1). Pela regra da cadeia,
f'(x)=e^u(x)cdot u'(x)
Como
u'(x)=cosh(x^2-1)cdotddx(x^2-1) =cosh(x^2-1)cdot2x,
temos
f'(x)=e^sinh(x^2-1)cdotcosh(x^2-1)cdot2x

Passo 5

Avaliar em x=1:
f'(1) =e^sinh(1^2-1)cdotcosh(1^2-1)cdot2cdot1 =e^sinh(0)cdotcosh(0)cdot2 =e^0cdot1cdot2 =2

Resposta

(a) raiz[10]eapprox1,1.
(b) f'(1)=2.

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