Seja
dada por
verifique se
é periódica. Caso afirmativo, qual o período fundamental?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- Verificar se
é periódica (ou seja, existe algum tal que para todos os do domínio). - Se for periódica, indicar o período fundamental (o menor
que satisfaz a condição).
Informações relevantes fornecidas / observações iniciais:
- A função tangente é dada por
. - A tangente não está definida onde
. Logo o domínio efetivo de é . - A igualdade
precisa valer para todos os do domínio (e então também deve pertencer ao domínio).
Passo 2
Definição e ideia prática de função periódica (explicação didática):
- Dizemos que uma função
é periódica se existe um número tal que, para todo no domínio, vale
- Esse
é chamado de período; se existir mais de um período, o período fundamental (ou primitivo) é o menor período positivo. - Intuição: a função “se repete” a cada deslocamento de
. Para provar periodicidade, normalmente: - Encontra-se um candidato
e mostra-se que a identidade acima vale para todo do domínio. - Para mostrar que é fundamental, mostra-se que nenhum
com satisfaz a condição.
- Encontra-se um candidato
Passo 3
Mostrar que
é um período de
(prova direta usando identidades trigonométricas):
- Usar que
e . - Então, para todo
tal que (isto é, para todo do domínio),
- Observação sobre domínio: se
então , logo ambos os lados da igualdade estão bem definidos. Portanto a igualdade vale para todo do domínio de . - Conclusão parcial:
é um período de .
Passo 4
Mostrar que qualquer período positivo
deve ser múltiplo de
(isso garante minimalidade de
):
- Suponha que
é período, ou seja, para todo do domínio. - Tomando
(observe que pertence ao domínio), obtém-se
- Resolver
: como , temos quando e . As soluções são com . - Portanto
para algum inteiro . Assim todo período positivo é um múltiplo inteiro de .
Passo 5
Concluir que o período fundamental é
:
- Dos argumentos anteriores, todo período positivo é da forma
com inteiro . - O menor
é , que dá . - Logo
é o menor período positivo — ou seja, o período fundamental de .
Passo 6
Comentário final de reforço (para lembrar na prova):
- Para verificar periodicidade de funções trigonométricas, é útil lembrar as identidades de deslocamento por
e : , . A razão das duas dá . - Sempre checar domínio: a igualdade só faz sentido onde ambos os lados estão definidos; no caso de
os zeros de aparecem nos mesmos pontos antes e depois de somar , então não há problema.
Resposta
Sim.
Período fundamental:
Período fundamental: