Seja f: \Re \mapsto \Re dada por f(x)=\tan (x) verifique se f é periódica. Caso afirmativo, qual o período fundamental?

Passo 1

O enunciado dá a função f:\Re\to\Re definida por f(x)=\tan(x) e pede duas coisas:
  • Verificar se f é periódica (ou seja, existe algum T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todos os x do domínio).
  • Se for periódica, indicar o período fundamental (o menor T>0 que satisfaz a condição).
Informações relevantes fornecidas / observações iniciais:
  • A função tangente é dada por \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • A tangente não está definida onde \cos x=0. Logo o domínio efetivo de f é \displaystyle \{x\in\Re : \cos x\neq0\} = \Re\setminus\Big\{\frac{\pi}{2}+k\pi : k\in\mathbb{Z}\Big\}.
  • A igualdade f(x+T)=f(x) precisa valer para todos os x do domínio (e então x+T também deve pertencer ao domínio).

Passo 2

Definição e ideia prática de função periódica (explicação didática):
  • Dizemos que uma função f é periódica se existe um número T>0 tal que, para todo x no domínio, vale
f(x+T)=f(x).
  • Esse T é chamado de período; se existir mais de um período, o período fundamental (ou primitivo) é o menor período positivo.
  • Intuição: a função “se repete” a cada deslocamento de T. Para provar periodicidade, normalmente:
    1. Encontra-se um candidato T e mostra-se que a identidade acima vale para todo x do domínio.
    2. Para mostrar que é fundamental, mostra-se que nenhum T' com 0<T'<T satisfaz a condição.

Passo 3

Mostrar que \pi é um período de \tan (prova direta usando identidades trigonométricas):
  • Usar que \sin(x+\pi)=-\sin x e \cos(x+\pi)=-\cos x.
  • Então, para todo x tal que \cos x\neq0 (isto é, para todo x do domínio),
\tan(x+\pi)=\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x.
  • Observação sobre domínio: se \cos x\neq0 então \cos(x+\pi)=-\cos x\neq0, logo ambos os lados da igualdade estão bem definidos. Portanto a igualdade vale para todo x do domínio de \tan.
  • Conclusão parcial: \pi é um período de f(x)=\tan x.

Passo 4

Mostrar que qualquer período positivo T deve ser múltiplo de \pi (isso garante minimalidade de \pi):
  • Suponha que T>0 é período, ou seja, \tan(x+T)=\tan x para todo x do domínio.
  • Tomando x=0 (observe que 0 pertence ao domínio), obtém-se
\tan(T)=\tan(0)=0.
  • Resolver \tan y=0: como \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}, temos \tan y=0 quando \sin y=0 e \cos y\neq0. As soluções são y=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
  • Portanto T=k\pi para algum inteiro k\ge1. Assim todo período positivo é um múltiplo inteiro de \pi.

Passo 5

Concluir que o período fundamental é \pi:
  • Dos argumentos anteriores, todo período positivo é da forma k\pi com inteiro k\ge1.
  • O menor k\ge1 é k=1, que dá T=\pi.
  • Logo \pi é o menor período positivo — ou seja, o período fundamental de \tan x.

Passo 6

Comentário final de reforço (para lembrar na prova):
  • Para verificar periodicidade de funções trigonométricas, é útil lembrar as identidades de deslocamento por \pi e 2\pi: \sin(x+\pi)=-\sin x, \cos(x+\pi)=-\cos x. A razão das duas dá \tan(x+\pi)=\tan x.
  • Sempre checar domínio: a igualdade só faz sentido onde ambos os lados estão definidos; no caso de \tan os zeros de \cos aparecem nos mesmos pontos antes e depois de somar \pi, então não há problema.

Resposta

Sim.
Período fundamental: \pi

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