Seja f(x)=x+2 \cos (7 x), x \in[-\pi,+\pi] e f(x+2 \pi)=f(x), \forall x \in \Re. Desenvolver f(x) em série de Fourier…

Passo 1

O enunciado nos dá a função periódica de período 2\pi
f(x)=x+2\cos(7x),\qquad x\in[-\pi,\pi],
com extensão f(x+2\pi)=f(x) para todo x. O que é pedido: desenvolver f(x) em série de Fourier na base trigonométrica sobre [-\pi,\pi].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é soma de duas parcelas: x e 2\cos(7x).
  • Domínio de referência para a série: [-\pi,\pi].
  • Período: 2\pi.

Passo 2

Relembrando a forma geral da série de Fourier (para funções de período 2\pi):
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Vou calcular a_0, a_n e b_n para a função dada, explicando cada passo e as propriedades usadas (paridade das funções e ortogonalidade das funções trigonométricas).

Passo 3

Cálculo de a_0.
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(x+2\cos(7x)\bigr)\,dx =\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx + 2\int_{-\pi}^{\pi}\cos(7x)\,dx\right).
  • \int_{-\pi}^{\pi} x\,dx=0 porque x é função ímpar em um intervalo simétrico.
  • \int_{-\pi}^{\pi}\cos(7x)\,dx=0 porque é integral de uma cosseno sobre um período inteiro.
    Logo
a_0=0.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1.
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(x\cos(nx)+2\cos(7x)\cos(nx)\bigr)\,dx.
  • A primeira integral \int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=0 porque x é ímpar e \cos(nx) é par, então o produto é ímpar e integra zero em intervalo simétrico.
  • A segunda integral pode ser tratada pela identidade produto-para-soma:
\cos(7x)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((7-n)x)+\cos((7+n)x)\bigr).
Integrando em [-\pi,\pi], os termos \cos(kx) têm integral zero, exceto quando k=0. Assim
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(7x)\cos(nx)\,dx= \begin{cases} \pi, & n=7,\\[4pt] 0, & n\ne7. \end{cases}
Portanto
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot 2\cdot \begin{cases} \pi, & n=7,\\[4pt] 0, & n\ne7 \end{cases} = \begin{cases} 2, & n=7,\\[4pt] 0, & n\ne7. \end{cases}]

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1.
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(x\sin(nx)+2\cos(7x)\sin(nx)\bigr)\,dx.
  • O termo com \cos(7x)\sin(nx) é produto de uma função par ( \cos) e uma ímpar ( \sin), logo é ímpar; sua integral em [-\pi,\pi] é 0.
  • Logo resta b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx. Note que x é ímpar e \sin(nx) é ímpar, então o produto é par; a integral pode ser feita por integração por partes. Faço direto a primitiva e avalio de -\pi a \pi:
Cálculo da integral
\int x\sin(nx)\,dx.
Use integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\frac{1}{n}\cos(nx). Assim
\int x\sin(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{1}{n}\int \cos(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}.
Avaliaremos de -\pi a \pi. Como \sin(n\pi)=\sin(-n\pi)=0, somente o termo -\frac{x\cos(nx)}{n} contribui:
\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} -\Bigl(-\frac{(-\pi)\cos(-n\pi)}{n}\Bigr).
Usando \cos(-n\pi)=\cos(n\pi), isso dá
\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{2\pi\cos(n\pi)}{n}.
Portanto
b_n=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{2\pi\cos(n\pi)}{n}\right)=-\frac{2\cos(n\pi)}{n}.
Como \cos(n\pi)=(-1)^n, pode-se escrever
b_n=-\frac{2(-1)^n}{n}=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}.
Observação: este é exatamente o conjunto de coeficientes do termo x na série de Fourier (a série “serrote”/sawtooth).

Passo 6

Montagem da série de Fourier. Já temos:
  • a_0=0,
  • a_n=0 para n\ne7 e a_7=2,
  • b_n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n} para todo n\ge1.
Substituindo na fórmula geral,
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr) = \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)}_{\text{série de }x} \;+\; \underbrace{2\cos(7x)}_{\text{termo já presente}}.éá
Ou escrito de forma explícita:
f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)+2\cos(7x).

Resposta

f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)+2\cos(7x).

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