Seja
e
. Desenvolver
em série de Fourier…
Passo 1
O enunciado nos dá a função periódica de período
com extensão
para todo
. O que é pedido: desenvolver
em série de Fourier na base trigonométrica sobre
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é soma de duas parcelas:
e . - Domínio de referência para a série:
. - Período:
.
Passo 2
Relembrando a forma geral da série de Fourier (para funções de período
):
onde os coeficientes são dados por
Vou calcular
,
e
para a função dada, explicando cada passo e as propriedades usadas (paridade das funções e ortogonalidade das funções trigonométricas).
Passo 3
Cálculo de
.
-
porque é função ímpar em um intervalo simétrico. -
porque é integral de uma cosseno sobre um período inteiro.
Logo
Passo 4
Cálculo de
para
.
- A primeira integral
porque é ímpar e é par, então o produto é ímpar e integra zero em intervalo simétrico. - A segunda integral pode ser tratada pela identidade produto-para-soma:
Integrando em
, os termos
têm integral zero, exceto quando
. Assim
Portanto
Passo 5
Cálculo de
para
.
- O termo com
é produto de uma função par ( ) e uma ímpar ( ), logo é ímpar; sua integral em é . - Logo resta
. Note que é ímpar e é ímpar, então o produto é par; a integral pode ser feita por integração por partes. Faço direto a primitiva e avalio de a :
Cálculo da integral
Use integração por partes com
,
. Então
,
. Assim
Avaliaremos de
a
. Como
, somente o termo
contribui:
Usando
, isso dá
Portanto
Como
, pode-se escrever
Observação: este é exatamente o conjunto de coeficientes do termo
na série de Fourier (a série “serrote”/sawtooth).
Passo 6
Montagem da série de Fourier. Já temos:
-
, -
para e , -
para todo .
Substituindo na fórmula geral,
Ou escrito de forma explícita: