Exercício 19 (S.3.1)
Seja
um campo vetorial de classe
. Uma função contínua
chama-se integral primeira de
em
se:
(a)
é constante ao longo de toda órbita de
.
(b)
não é constante em nenhum aberto de
.
Resolva as seguintes questões:
(i) Seja
de classe
tal que
e
para todo
. Então
é uma integral primeira de
.
(ii) Se
não é ponto singular de
então existe uma vizinhança
de
tal que
tem
integrais primeiras
de classe
funcionalmente independentes (isto é, tais que
são linearmente independentes para todo
.
(Sugestão: Use o Teorema do Fluxo Tubular.)
(iii) Encontre uma integral primeira do centro dado por
para
e da sela
onde
.
(iv) Para sistemas lineares, não existe nenhuma integral primeira em
, se ambos autovalores tiverem parte real
ou ambos tiverem parte real
.
(v) Generalize (
) e (
) para sistemas lineares em
.
(vi) Seja
uma função de classe
. Suponha que os pontos onde
é igual a zero sejam isolados e encontre uma integral primeira para o campo
(tal campo é conhecido como Hamiltoniano).
(vii) Dada uma função
de classe
, tal que
não se anula em nenhum aberto, encontre um campo
cuja integral primeira seja
. Suponha
.
(viii) Se
e
são topologicamente equivalentes e
tem uma integral primeira, então o mesmo é válido para
.
(ix) Se
é uma integral primeira de
, então
é invariante por
. Em particular, como
não contém abertos, podemos considerar as órbitas contidas em
como um “subsistema”, com dimensão inferior em uma unidade com respeito ao sistema definido por
.
(x) Se
tem uma integral primeira
com
, então existe uma vizinhança
de
tal que
é diferenciavelmente conjugado a um sistema da forma
(xi) Generalize este último resultado para o caso em que
possui
integrais primeiras funcionalmente independentes (ver (ii)) em um ponto
. (Sugestão: Compare com o Teorema do fluxo tubular e imite a prova, usando o Teorema da Aplicação Inversa).