Determine a derivada y^prime das curvas dadas implicitamente por:
tg(y)=x y-1.

Passo 1

O enunciado define a curva implicitamente por
tan(y)=x,y-1
Queremos encontrar y'=dydx. Para isso usaremos derivação implícita, aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
– Lado esquerdo: ddx[tan(y)] = sec^2(y),y' (regra da cadeia).
– Lado direito: ddx[x,y - 1] = x,y' + y (regra do produto em x,y e derivada de constante zero).
Portanto obtemos
sec^2(y),y' = x,y' + y

Passo 3

Isolamos y':
sec^2(y),y' - x,y' = y Longrightarrow y'l(sec^2(y)-xr)=y Longrightarrow y'=ysec^2(y)-x

Resposta

boxedy'=ysec^2(y)-x

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