Exercício 19 (S.3.1)
Seja f: E R^n um campo vetorial de classe C^1. Uma função contínua V: E R chama-se integral primeira de f em E se:
(a) V é constante ao longo de toda órbita de f.
(b) V não é constante em nenhum aberto de E.
Resolva as seguintes questões:
(i) Seja f: E R de classe C^1 tal que nabla V(x) f(x)=0 e nabla V(x) neq 0 para todo x in E. Então V é uma integral primeira de f.
(ii) Se x in E não é ponto singular de f então existe uma vizinhança U de x tal que f|U tem n-1 integrais primeiras V1, ldots, Vn-1 de classe C^1 funcionalmente independentes (isto é, tais que nabla V1, ldots, nabla Vn-1 são linearmente independentes para todo x in U).
(Sugestão: Use o Teorema do Fluxo Tubular.)
(iii) Encontre uma integral primeira do centro dado por
x1^prime=-beta x2 x2^prime=beta x1
para beta neq 0 e da sela
& x1^prime=lambda1 x1 & x2^prime=lambda2 x2
onde lambda1<0<lambda2.
(iv) Para sistemas lineares, não existe nenhuma integral primeira em R^2, se ambos autovalores tiverem parte real >0 ou ambos tiverem parte real <0.
(v) Generalize ( i i i ) e ( i v ) para sistemas lineares em R^n.
(vi) Seja H: R^2 n R uma função de classe C^r, r >= 2. Suponha que os pontos onde nabla H é igual a zero sejam isolados e encontre uma integral primeira para o campo
f=(partial Hpartial xn+1, ldots, partial Hpartial x2 n,-partial Hpartial x1, ldots,-partial Hpartial xn)
(tal campo é conhecido como Hamiltoniano).
(vii) Dada uma função V: E R de classe C^2, tal que nabla V não se anula em nenhum aberto, encontre um campo f: E R^n cuja integral primeira seja V. Suponha E subset R^2.
(viii) Se f1: E1 R^n e f2: E2 R^n são topologicamente equivalentes e f1 tem uma integral primeira, então o mesmo é válido para f2.
(ix) Se V é uma integral primeira de f, então Mc=V^-1(c) é invariante por f. Em particular, como Mc não contém abertos, podemos considerar as órbitas contidas em Mc como um “subsistema”, com dimensão inferior em uma unidade com respeito ao sistema definido por f.
(x) Se f tem uma integral primeira V com nabla V(x0) neq 0, então existe uma vizinhança U de x0 tal que f|U é diferenciavelmente conjugado a um sistema da forma
tildef=(tildef1, tildef2, ldots, tildefn-1, 0)
(xi) Generalize este último resultado para o caso em que f possui k integrais primeiras funcionalmente independentes (ver (ii)) em um ponto x0 in E. (Sugestão: Compare com o Teorema do fluxo tubular e imite a prova, usando o Teorema da Aplicação Inversa).

Passo 1

O enunciado define uma integral primeira V:EtoR de um campo f:EtoR^n de classe C^1 como uma função contínua que satisfaz
(a) V é constante ao longo de cada órbita de f, e
(b) V não é constante em nenhum aberto de E.
Precisamos então tratar dos itens (i)–(xi), que vão desde a verificação direta da condição nabla Vcdot f=0 até resultados globais de existência e conjugação local usando teoremas como o do fluxo tubular e da aplicação inversa.

Passo 2

(i) Seja x(t) uma solução de x'=f(x). Como V é C^1, temos
ddtVl(x(t)r) =nabla Vl(x(t)r)cdot x'(t) =nabla Vl(x(t)r)cdot fl(x(t)r) =0
Logo Vl(x(t)r) é constante ao longo de toda órbita, e a hipótese nabla Vneq0 impede que V seja constante em algum aberto. Portanto V é integral primeira de f.

Passo 3

(ii) Se x0 não é ponto singular, f(x0)neq0. Pelo Teorema do Fluxo Tubular (ou caixa de fluxo), existe um difeomorfismo local phi que leva f para o campo constante partial/partial xn. As primeiras n-1 coordenadas de phi são então integrais primeiras independentes de classe C^1.

Passo 4

(iii) Para o centro
x1'=-beta x2, x2'=beta x1,
note que
ddt(x1^2+x2^2) =2x1x1'+2x2x2' =2x1(-beta x2)+2x2(beta x1)=0
Assim
V(x1,x2)=x1^2+x2^2
é integral primeira.
Para a sela
x1'=lambda1x1, x2'=lambda2x2,
com lambda1<0<lambda2, integre
ddtl(lambda2ln|x1|-lambda1ln|x2|r) =lambda2x1'x1-lambda1x2'x2 =lambda2lambda1-lambda1lambda2=0,
logo
V(x1,x2)=x1^lambda2,x2^-lambda1
é uma integral primeira.

Passo 5

(iv) Se um sistema linear em R^2 tem ambos os autovalores com parte real >0 (ou <0), todas as órbitas tendem a infinito (ou à origem) monotonicamente, de modo que qualquer V constante em cada órbita seria constante em um conjunto aberto (e daí trivial). Portanto não existe integral primeira não trivial.

Passo 6

(v) No caso x'=Ax em R^n, diagonalize (ou coloque em forma de Jordan). Para cada par conjugado pm iomega surge um primeiro integral quadrático x2j-1^2+x2j^2; para cada par de autovalores reais lambdai,lambdaj pode-se formar monômios xi^lambdajxj^-lambdai. Se todos tiverem parte real de mesmo sinal, não há invariantes não constantes.

Passo 7

(vi) No caso Hamiltoniano
f=l(tfracpartial Hpartial xn+1,dots,tfracpartial Hpartial x2n, -tfracpartial Hpartial x1,dots,-tfracpartial Hpartial xnr),
calculamos
ddtH =nabla Hcdot f =sumi=1^nl(Hxi,xi'+Hxn+i,xn+i'r)=0
por cancelamento das derivadas cruzadas. Logo H é integral primeira.

Passo 8

(vii) Dada V(x,y) com nabla Vneq0, basta escolher
f=(Vy,-Vx),
pois
nabla Vcdot f =VxVy+Vy(-Vx)=0,
e nabla Vneq0 garante que V não seja trivial num aberto.

Passo 9

(viii) Se h:E1to E2 é conjugação topológica entre f1 e f2 e V1 é integral primeira de f1, então
V2=V1circ h^-1
é contínua e satisfaz
nabla V2cdot f2=(nabla V1circ h^-1)cdot(h*f1)=0.

Passo 10

(ix) Se V é integral primeira de f, então cada nível
Mc=V^-1(c)
é invariante, pois ao longo de qualquer solução V não varia. Como Mc não tem abertos, obtemos um subsistema de dimensão n-1.

Passo 11

(x) Perto de x0 com nabla V(x0)neq0, podemos usar V como última coordenada e completar com outras n-1 coordenadas constantes ao longo de órbitas (fluxo tubular). Nesse sistema de coordenadas (y1,dots,yn) vemos que a componente yn é constante, ou seja
tilde f=(tilde f1,dots,tilde fn-1,0)

Passo 12

(xi) Se há k integrais primeiras independentes, repetimos o mesmo argumento usando k delas como últimas coordenadas e o fluxo tubular em dimensão n-k, obtendo numa vizinhança de x0 a forma
tilde f=(tilde f1,dots,tilde fn-k,0,dots,0),
com k componentes nulas.

Resposta

(i) Válido, pois nabla Vcdot f=0 implica V constante em cada órbita e nabla Vneq0 impede constante em aberto.
(ii) Pelo fluxo tubular existe localmente n-1 integrais primeiras independentes.
(iii) Centro: V=x1^2+x2^2. Sela: V=x1^lambda2x2^-lambda1.
(iv) Se os autovalores têm parte real de mesmo sinal, não existe integral primeira não trivial.
(v) Em R^n usa-se quadráticos para pares imaginários e monômios para pares reais; falta de pares opostos impede invariantes não constantes.
(vi) O próprio H é integral primeira de um campo Hamiltoniano.
(vii) Em R^2, f=(Vy,-Vx) tem V como integral primeira.
(viii) Conjugação topológica leva integrais primeiras de um campo a outro por composição.
(ix) Cada nível V^-1(c) é invariante e define subsistema de dimensão n-1.
(x) Com uma integral primeira não degenerada, localmente f é conjugado a (f1,dots,fn-1,0).
(xi) Com k integrais primeiras independentes, localmente f é conjugado a (f1,dots,fn-k,0,dots,0).

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