Exercício 19 (S.3.1)
Seja
um campo vetorial de classe
. Uma função contínua
chama-se integral primeira de
em
se:
(a)
é constante ao longo de toda órbita de
.
(b)
não é constante em nenhum aberto de
.
Resolva as seguintes questões:
(i) Seja
de classe
tal que
e
para todo
. Então
é uma integral primeira de
.
(ii) Se
não é ponto singular de
então existe uma vizinhança
de
tal que
tem
integrais primeiras
de classe
funcionalmente independentes (isto é, tais que
são linearmente independentes para todo
.
(Sugestão: Use o Teorema do Fluxo Tubular.)
(iii) Encontre uma integral primeira do centro dado por
para
e da sela
onde
.
(iv) Para sistemas lineares, não existe nenhuma integral primeira em
, se ambos autovalores tiverem parte real
ou ambos tiverem parte real
.
(v) Generalize (
) e (
) para sistemas lineares em
.
(vi) Seja
uma função de classe
. Suponha que os pontos onde
é igual a zero sejam isolados e encontre uma integral primeira para o campo
(tal campo é conhecido como Hamiltoniano).
(vii) Dada uma função
de classe
, tal que
não se anula em nenhum aberto, encontre um campo
cuja integral primeira seja
. Suponha
.
(viii) Se
e
são topologicamente equivalentes e
tem uma integral primeira, então o mesmo é válido para
.
(ix) Se
é uma integral primeira de
, então
é invariante por
. Em particular, como
não contém abertos, podemos considerar as órbitas contidas em
como um “subsistema”, com dimensão inferior em uma unidade com respeito ao sistema definido por
.
(x) Se
tem uma integral primeira
com
, então existe uma vizinhança
de
tal que
é diferenciavelmente conjugado a um sistema da forma
(xi) Generalize este último resultado para o caso em que
possui
integrais primeiras funcionalmente independentes (ver (ii)) em um ponto
. (Sugestão: Compare com o Teorema do fluxo tubular e imite a prova, usando o Teorema da Aplicação Inversa).
Seja
(a)
(b)
(i) Seja
(ii) Se
(Sugestão: Use o Teorema do Fluxo Tubular.)
(iii) Encontre uma integral primeira do centro dado por
(iv) Para sistemas lineares, não existe nenhuma integral primeira em
(v) Generalize (
(vi) Seja
(vii) Dada uma função
(viii) Se
(ix) Se
(x) Se
Passo 1
O enunciado define uma integral primeira
de um campo
de classe
como uma função contínua que satisfaz
(a) é constante ao longo de cada órbita de
, e
(b) não é constante em nenhum aberto de
.
Precisamos então tratar dos itens (i)–(xi), que vão desde a verificação direta da condição até resultados globais de existência e conjugação local usando teoremas como o do fluxo tubular e da aplicação inversa.
(a)
(b)
Precisamos então tratar dos itens (i)–(xi), que vão desde a verificação direta da condição
Passo 2
(i) Seja
uma solução de
. Como
é
, temos
Logo
é constante ao longo de toda órbita, e a hipótese
impede que
seja constante em algum aberto. Portanto
é integral primeira de
.
Passo 3
(ii) Se
não é ponto singular,
. Pelo Teorema do Fluxo Tubular (ou caixa de fluxo), existe um difeomorfismo local
que leva
para o campo constante
. As primeiras
coordenadas de
são então integrais primeiras independentes de classe
.
Passo 4
(iii) Para o centro
note que
Assim
é integral primeira.
Para a sela
Para a sela
com
, integre
logo
é uma integral primeira.
Passo 5
(iv) Se um sistema linear em
tem ambos os autovalores com parte real
(ou
), todas as órbitas tendem a infinito (ou à origem) monotonicamente, de modo que qualquer
constante em cada órbita seria constante em um conjunto aberto (e daí trivial). Portanto não existe integral primeira não trivial.
Passo 6
(v) No caso
em
, diagonalize (ou coloque em forma de Jordan). Para cada par conjugado
surge um primeiro integral quadrático
; para cada par de autovalores reais
pode-se formar monômios
. Se todos tiverem parte real de mesmo sinal, não há invariantes não constantes.
Passo 7
(vi) No caso Hamiltoniano
calculamos
por cancelamento das derivadas cruzadas. Logo
é integral primeira.
Passo 8
(vii) Dada
com
, basta escolher
pois
e
garante que
não seja trivial num aberto.
Passo 9
(viii) Se
é conjugação topológica entre
e
e
é integral primeira de
, então
é contínua e satisfaz
.
Passo 10
(ix) Se
é integral primeira de
, então cada nível
é invariante, pois ao longo de qualquer solução
não varia. Como
não tem abertos, obtemos um subsistema de dimensão
.
Passo 11
(x) Perto de
com
, podemos usar
como última coordenada e completar com outras
coordenadas constantes ao longo de órbitas (fluxo tubular). Nesse sistema de coordenadas
vemos que a componente
é constante, ou seja
Passo 12
(xi) Se há
integrais primeiras independentes, repetimos o mesmo argumento usando
delas como últimas coordenadas e o fluxo tubular em dimensão
, obtendo numa vizinhança de
a forma
com
componentes nulas.
Resposta
(i) Válido, pois
implica
constante em cada órbita e
impede constante em aberto.
(ii) Pelo fluxo tubular existe localmente integrais primeiras independentes.
(iii) Centro: . Sela:
.
(iv) Se os autovalores têm parte real de mesmo sinal, não existe integral primeira não trivial.
(v) Em usa-se quadráticos para pares imaginários e monômios para pares reais; falta de pares opostos impede invariantes não constantes.
(vi) O próprio é integral primeira de um campo Hamiltoniano.
(vii) Em ,
tem
como integral primeira.
(viii) Conjugação topológica leva integrais primeiras de um campo a outro por composição.
(ix) Cada nível é invariante e define subsistema de dimensão
.
(x) Com uma integral primeira não degenerada, localmente é conjugado a
.
(xi) Com integrais primeiras independentes, localmente
é conjugado a
.
(ii) Pelo fluxo tubular existe localmente
(iii) Centro:
(iv) Se os autovalores têm parte real de mesmo sinal, não existe integral primeira não trivial.
(v) Em
(vi) O próprio
(vii) Em
(viii) Conjugação topológica leva integrais primeiras de um campo a outro por composição.
(ix) Cada nível
(x) Com uma integral primeira não degenerada, localmente
(xi) Com