Exercício 1
Seja a função dada por . Considere a equação diferencial
(0,5 Ponto) a) Determine uma solução desta equação.
(1 Ponto) b) Ela é única? Se não for, ache outra solução.
(1 Ponto) c) A função é localmente Lipschitziana na segunda variável? Explique a unicidade ou não unicidade de soluções através do Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
onde . O conteúdo é separação de variáveis para achar soluções e depois verificar unicidade via condição de Lipschitz na segunda variável.
Passo 2
Procuramos soluções com (o caso é análogo em valor absoluto). Temos
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados,
logo
Impondo dá , ou seja
Passo 3
Além de , a função identicamente zero
é também solução (basta ver que e satisfaz a condição inicial). Logo já existem pelo menos duas soluções distintas.
Passo 4
Na verdade existem infinitas soluções: para qualquer
Cada e . Assim a solução não é única.
Passo 5
Para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf precisaríamos que fosse localmente Lipschitz em . Calculando a derivada parcial em (para ):
que tende a infinito quando xto0. Logo f não é Lipschitz em qualquer vizinhança de x=0 e o teorema não garante unicidade — de fato temos não-unicidade.
Resposta
a) Duas soluções são
satisfazem .
c) A função não é localmente Lipschitz em junto a , pois diverge ali. Pelo Teorema de Picard-Lindelöf, falta Lipschitz e, assim, falta unicidade.