Exercício 1
Seja f: R times R R a função dada por f(t, x)=4|x|^34. Considere a equação diferencial
x^prime(t)=f(t, x(t)), x(0)=0
(0,5 Ponto) a) Determine uma solução desta equação.
(1 Ponto) b) Ela é única? Se não for, ache outra solução.
(1 Ponto) c) A função f é localmente Lipschitziana na segunda variável? Explique a unicidade ou não unicidade de soluções através do Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
x'(t)=f(t,x(t)), x(0)=0,
onde f(t,x)=4|x|^3/4. O conteúdo é separação de variáveis para achar soluções e depois verificar unicidade via condição de Lipschitz na segunda variável.

Passo 2

Procuramos soluções com x(t)>=0 (o caso x(t)<=0 é análogo em valor absoluto). Temos
dxdt=4,x^3/4
Separando as variáveis:
x^-3/4,dx=4,dt
Integrando ambos os lados,
integral x^-3/4,dx=integral4,dt Longrightarrow 4,x^1/4=4,t+C Longrightarrow x^1/4=t+C',
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x(t)=(t+C')^4
Impondo x(0)=0 C'=0, ou seja
x(t)=t^4

Passo 3

Além de x(t)=t^4, a função identicamente zero
x(t)=0
é também solução (basta ver que x'(t)=0=4|0|^3/4 e satisfaz a condição inicial). Logo já existem pelo menos duas soluções distintas.

Passo 4

Na verdade existem infinitas soluções: para qualquer
Cada e . Assim a solução não é única.

Passo 5

Para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf precisaríamos que f fosse localmente Lipschitz em x. Calculando a derivada parcial em x (para xneq0):
partial fpartial x =4cdot34,l|xr|^-1/4,sign(x) =3,|x|^-1/4,sign(x),
que tende a infinito quando xto0. Logo f não é Lipschitz em qualquer vizinhança de x=0 e o teorema não garante unicidade — de fato temos não-unicidade.

Resposta

a) Duas soluções são
satisfazem .
c) A função não é localmente Lipschitz em junto a , pois diverge ali. Pelo Teorema de Picard-Lindelöf, falta Lipschitz e, assim, falta unicidade.

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