Determine a derivada y^prime da função seguinte.
y=e^cos (x^2);

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y = e{\cos\left(x{2}\right)}. O conteúdo principal aqui é derivadas de funções compostas, usando a regra da cadeia para exponencial, cosseno e potência.

Passo 2

Para começar, reconhecemos y como uma composição y = e^{u(x)}, com u(x) = \cos\bigl(x^{2}\bigr). Pela regra da cadeia,
y'(x) = e^u(x) cdot u'(x)

Passo 3

Agora precisamos de u’(x) para u(x) = \cos\bigl(x^{2}\bigr). De novo aplicamos a regra da cadeia, vendo u como v ↦ \cos(v) com v(x) = x^{2}:
u'(x) = -sinl(v(x)r) cdot v'(x)

Passo 4

Em seguida, derivamos v(x) = x^{2}, que é uma potência simples:
v'(x) = 2x

Passo 5

Substituindo em u’(x) temos
u'(x) = -sinl(x^2r) cdot 2x = -2xsinl(x^2r)

Passo 6

Finalmente, voltando à expressão de y’(x):
y'(x) = e^cos(x^2) cdot l(-2xsin(x^2)r) = -2x,e^cos(x^2)sin(x^2)

Resposta

-2x e{\cos\left(x{2}\right)} \sin\left(x^{2}\right)

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