Determine a família de primitivas para cada função: integral(t+1t)^32(t^2-1t^2) d t

Passo 1

A integral dada é integral(t+1t)^3/2(t^2-1t^2)dt. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois reconhecemos uma função composta cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Vamos definir u = t + 1t. Calculando o diferencial, temos
du = (1 - 1t^2)dt = t^2-1t^2,dt,
o que coincide exatamente com o fator t^2-1t^2,dt presente na integral.

Passo 3

Substituindo na integral, ela fica
integral u^3/2,du,
e aplicamos a regra do poder: integral u^adu = u^a+1a+1 + C.

Passo 4

Portanto,
integral u^3/2,du = u^5/25/2 + C = 25u^5/2 + C
Voltando a t, a primitiva é 25l(t+1tr)^5/2 + C.

Resposta

25l(t+1tr)^5/2 + C

Exercícios relacionados