Determine a derivada
, se
;
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
y=
y=
Isso envolve usar a regra do quociente e a regra da cadeia para potências.
Passo 2
Identificamos as funções auxiliares:
u(x)=1+x+2x^2 e v(x)=3+4x
Calculamos u’(x) e v’(x) usando derivadas básicas:
u’(x)=\frac{d}{dx}(1+x+2x^2)=1+4x
v’(x)=\frac{d}{dx}(3+4x)=4
u(x)=1+x+2x^2 e v(x)=3+4x
Calculamos u’(x) e v’(x) usando derivadas básicas:
u’(x)=\frac{d}{dx}(1+x+2x^2)=1+4x
v’(x)=\frac{d}{dx}(3+4x)=4
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia às potências:
Passo 4
Agora usamos a regra do quociente:
Passo 5
Fatoramos (3+4x)^3 e (1+x+2x2)2 no numerador para simplificar:
Passo 6
Expandimos o colchete para obter forma final:
Calculamos
3(1+4x)(3+4x)=3(3+16x+16x2)=9+48x+48x2
Calculamos
3(1+4x)(3+4x)=3(3+16x+16x2)=9+48x+48x2
16(1+x+2x2)=16+16x+32x2
Subtraindo:
9+48x+48x^2 - (16+16x+32x^2)= -7 +32x+16x^2
9+48x+48x^2 - (16+16x+32x^2)= -7 +32x+16x^2
Logo:
Passo 7
O resultado final é: