Determine a derivada y^prime, se y=(1+x+2 x 2)^3(3+4 x)^4;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=
(1+x+2x^2)^3(3+4x)^4
Isso envolve usar a regra do quociente e a regra da cadeia para potências.

Passo 2

Identificamos as funções auxiliares:
u(x)=1+x+2x^2 e v(x)=3+4x
Calculamos u’(x) e v’(x) usando derivadas básicas:
u’(x)=\frac{d}{dx}(1+x+2x^2)=1+4x
v’(x)=\frac{d}{dx}(3+4x)=4

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia às potências:
ddxl(u(x)^3r)=3u(x)^2,u'(x)=3(1+x+2x^2)^2(1+4x)
ddxl(v(x)^4r)=4v(x)^3,v'(x)=4(3+4x)^3cdot4=16(3+4x)^3

Passo 4

Agora usamos a regra do quociente:
y'= (u^3)'cdot v^4 - u^3cdot (v^4)'(v^4)^2 =3(1+x+2x^2)^2(1+4x)(3+4x)^4 - (1+x+2x^2)^3cdot16(3+4x)^3(3+4x)^8

Passo 5

Fatoramos (3+4x)^3 e (1+x+2x2)2 no numerador para simplificar:
y'=(1+x+2x^2)^2(3+4x)^3l[3(1+4x)(3+4x)-16(1+x+2x^2)r](3+4x)^8 =(1+x+2x^2)^2l[3(1+4x)(3+4x)-16(1+x+2x^2)r](3+4x)^5

Passo 6

Expandimos o colchete para obter forma final:
Calculamos
3(1+4x)(3+4x)=3(3+16x+16x2)=9+48x+48x2
16(1+x+2x2)=16+16x+32x2
Subtraindo:
9+48x+48x^2 - (16+16x+32x^2)= -7 +32x+16x^2
Logo:

Passo 7

O resultado final é:
y'=(1+x+2x^2)^2l(16x^2+32x-7r)(3+4x)^5

Resposta

y'=(1+x+2x^2)^2l(16x^2+32x-7r)(3+4x)^5

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