Calcule a integral integral0^infty 5 x(2 x^2+3)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral0^infty 5x(2x^2+3)^3 dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada e aplicar regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o denominador de u:
u = 2x^2 + 3
Isso vai ajudar a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x
Queremos expressar x dx em termos de du:
x dx = du4

Passo 4

Substituindo u e x dx na integral original:
integral 5x(2x^2+3)^3 dx = integral 5u^3 cdot du4 = 54 integral u^-3 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-3:
integral u^-3 du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C
Multiplicando pela constante 54:
54 cdot (-12u^2) = -58u^2 + C

Passo 6

Voltando para a variável original x, substituímos u de volta:
-58(2x^2+3)^2 + C

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a infty:
[ -58(2x^2+3)^2 ]0^infty
Quando x to infty, o denominador (2x^2+3)^2 cresce muito, fazendo com que a expressão inteira se aproxime de 0.
Quando x = 0:
-58(2(0)^2+3)^2 = -58 cdot 9 = -572

Resposta

Subtraindo os valores nos limites:
0 - (-572) = 572
Portanto, o valor da integral é 572.

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