Dê um exemplo de uma função
para a qual a seguinte afirmação é falsa:
Se
quando
, então
quando
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função f para a qual existe algum ε>0 e δ>0 tais que sempre que 0<|x–a|<δ temos |f(x)–l|<ε, mas não ocorre necessariamente que 0<|x–a|<δ/2 implique |f(x)–l|<ε/2.
Passo 2
Definimos a=0, l=0 e a função de Dirichlet modificada: f(x)=1 se x∈ℚ e f(x)=0 se x∉ℚ. Escolhemos ε=2 e δ=1.
Passo 3
Verificamos o antecedente: para todo x com 0<|x–0|<1 temos f(x)∈{0,1} logo |f(x)–0|≤1<2, ou seja, sempre que 0<|x–a|<δ vale |f(x)–l|<ε.
Passo 4
Agora olhamos para δ/2=1/2. Basta tomar x=1/2∈ℚ, então 0<|x–0|=1/2<1/2 e f(1/2)=1. Logo |f(x)–l|=1≮ε/2=1, mostrando que a conclusão falha.
Resposta
Um exemplo é f(x)=1 se x é racional e f(x)=0 se x é irracional, com a=0 e l=0. Para ε=2 e δ=1 o antecedente vale, mas já em δ/2 o módulo |f(x)–l| não fica abaixo de ε/2.