Dê um exemplo de uma função f para a qual a seguinte afirmação é falsa:
Se |f(x)-l| quando 0<|x-a|, então |f(x)-l| quando 0<|x-a|.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f para a qual existe algum ε>0 e δ>0 tais que sempre que 0<|x–a|<δ temos |f(x)–l|<ε, mas não ocorre necessariamente que 0<|x–a|<δ/2 implique |f(x)–l|<ε/2.

Passo 2

Definimos a=0, l=0 e a função de Dirichlet modificada: f(x)=1 se x∈ℚ e f(x)=0 se x∉ℚ. Escolhemos ε=2 e δ=1.

Passo 3

Verificamos o antecedente: para todo x com 0<|x–0|<1 temos f(x)∈{0,1} logo |f(x)–0|≤1<2, ou seja, sempre que 0<|x–a|<δ vale |f(x)–l|<ε.

Passo 4

Agora olhamos para δ/2=1/2. Basta tomar x=1/2∈ℚ, então 0<|x–0|=1/2<1/2 e f(1/2)=1. Logo |f(x)–l|=1≮ε/2=1, mostrando que a conclusão falha.

Resposta

Um exemplo é f(x)=1 se x é racional e f(x)=0 se x é irracional, com a=0 e l=0. Para ε=2 e δ=1 o antecedente vale, mas já em δ/2 o módulo |f(x)–l| não fica abaixo de ε/2.

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