Determine a derivada de y em relação à variável independente dada. (Dica: use a derivação logarítmica).
y=x^{x}
Passo 1
O enunciado dá a função y=x^{x} e pede a derivada de y em relação à variável independente (presumidamente x).
Informações fornecidas:
y = x^{x}.
O que se pede:
Calcular \dfrac{dy}{dx}.
Passo 2
Observação sobre domínio e por que isso importa: ao usar logaritmo natural vamos aplicar \ln em ambos os lados. Para que \ln(x) esteja definido no sentido real simples, precisamos que x>0. Então, para a dedução abaixo assumimos \,x>0. (Se for preciso estender para x\le0 há cuidados com valores absolutos ou com extensões complexas, mas na maioria das provas assume-se x>0.)
Ideia da derivação logarítmica (explicação didática): quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente é conveniente tomar logaritmo dos dois lados. O log transforma potências em produtos, que são mais fáceis de derivar. Aplicando \ln a ambos os lados:
\ln y = \ln\bigl(x^{x}\bigr).
Usando a propriedade de logaritmos \ln(a^{b})=b\ln a (válida para a>0), obtemos:
Derivada de \ln y em relação a x: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}. Aqui y é função de x.
Derivada de x\ln x: é um produto, usamos a regra do produto \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'. Para u=x (então u'=1) e v=\ln x (então v'=\dfrac{1}{x}).
Diferenciando os dois lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
]
Portanto temos:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + 1.
Passo 4
Isolar \dfrac{dy}{dx}: multiplica-se ambos os lados por y:
\frac{dy}{dx} = y\bigl(\ln x + 1\bigr).
Mas sabemos que y=x^{x}. Substituindo:
\frac{dy}{dx} = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Passo 5
Interpretação final e cheque rápido: a derivada ficou em termos da própria função multiplicada por \ln x +1. Isso é típico de derivação logarítmica — a derivada de uma função do tipo base^{expoente} retorna a própria função vezes uma combinação que veio do logaritmo. Exemplo numérico rápido: em x=e vale \dfrac{dy}{dx}\big|_{x=e}=e^{e}(\ln e+1)=e^{e}(1+1)=2e^{e}. Em x=2 vale \dfrac{dy}{dx}=2^{2}(\ln 2+1)=4(\ln 2+1).