Determine a derivada
e) y=e^3 x arcsin 2 x

Passo 1

Estamos querendo a derivada de y = e^3x,arcsin(2x). O conteúdo aqui é a regra do produto e derivadas de funções compostas: a derivada de e^u e de arcsin(u).

Passo 2

Seja f(x) = e^3x e g(x) = arcsin(2x). Pela regra do produto, temos
dydx = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)
Calculamos f'(x). Como f(x)=e^3x, pela regra da cadeia
$$
f’(x) = 3,e^{3x}
$$

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Como g(x)=arcsin(2x), usamos (arcsin(u))'=u'/raiz1-u^2 com u=2x e u'=2:
g'(x)=2raiz1-(2x)^2=2raiz1-4x^2

Passo 4

Substituindo em y' = f',g + f,g':
y' = l(3e^3xr),arcsin(2x) + e^3x,2raiz1-4x^2
Podemos fatorar e^3x para simplificar o resultado:
y' = e^3xl(3,arcsin(2x) + 2raiz1-4x^2r)

Resposta

y' = e^3xl(3,arcsin(2x) + tfrac2raiz1-4x^2r)

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