Calcular a área da região limitada por:
y=x^23, y=4-23 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^23 e y=4-23x^2. Esse é um problema de cálculo de área entre duas funções, e vamos usar integrais definidas para encontrar essa área.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, igualamos as duas funções:
x^23=4-23x^2
Multiplicando ambos os lados por 3:
$$
x2=12-2x2
x^2=12-2x^2
3x^2=12
2x^2
x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm2
$$

Passo 3

As curvas se intersectam em x=-2 e x=2, e a curva y=4-tfrac23x^2 está acima de y=tfracx^23 nesse intervalo.
A área entre duas curvas de x=a a x=b é dada por integrala^bl(f(x)-g(x)r),dx. Aqui,
Área=integral-2^2l(4-tfrac23x^2 - tfracx^23r)dx =integral-2^2l(4 - x^2r)dx Á

Passo 4

Como a função integrando é par, podemos usar simetria:
$$\int_{-2}^{2}\bigl(4 - x^2\bigr)dx = 2\int_{0}^{2}\bigl(4 - x^2\bigr)dx
$$

Passo 5

Agora calculamos a integral:
$$\int_{0}^{2}(4 - x^2)dx = \bigl[4x - \tfrac{x3}{3}\bigr]_{0}{2} = \bigl(8 - \tfrac{8}{3}\bigr) - 0 = \tfrac{16}{3}
$$

Passo 6

Multiplicando por 2 devido à simetria:
$$Área=2\times \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3}
$$

Resposta

tfrac323

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