Calcular a área da região limitada por:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. Esse é um problema de cálculo de área entre duas funções, e vamos usar integrais definidas para encontrar essa área.
Passo 2
Para determinar os limites de integração, igualamos as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por 3:
$$
x2=12-2x2
3x^2=12
x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm2
$$
Passo 3
As curvas se intersectam em
e
, e a curva
está acima de
nesse intervalo.
A área entre duas curvas de a
é dada por
. Aqui,
A área entre duas curvas de
Passo 4
Como a função integrando é par, podemos usar simetria:
$$\int_{-2}^{2}\bigl(4 - x^2\bigr)dx = 2\int_{0}^{2}\bigl(4 - x^2\bigr)dx
$$
Passo 5
Agora calculamos a integral:
$$\int_{0}^{2}(4 - x^2)dx = \bigl[4x - \tfrac{x3}{3}\bigr]_{0}{2} = \bigl(8 - \tfrac{8}{3}\bigr) - 0 = \tfrac{16}{3}
$$
Passo 6
Multiplicando por 2 devido à simetria:
$$Área=2\times \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3}
$$