Mostre que
a) dd x[x arctan x-12 ln (1+x^2)]=arctan x

Passo 1

A questão pede para mostrar que a derivada de xarctan x - tfrac12ln(1+x^2) é arctan x. O conteúdo aqui envolve a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Vamos derivar xarctan x usando a regra do produto:
ddxl(xarctan xr) = ddx(x)cdotarctan x + xcdotddx(arctan x)
Sabemos que ddx(x)=1 e ddx(arctan x)=11+x^2. Logo,
ddxl(xarctan xr) = arctan x + x1+x^2

Passo 3

Agora derivamos -tfrac12ln(1+x^2) pela regra da cadeia:
ddxl(-tfrac12ln(1+x^2)r) = -tfrac12 cdot 11+x^2cdotddx(1+x^2)
Como ddx(1+x^2)=2x, isso dá
-tfrac12 cdot 11+x^2cdot 2x = -x1+x^2

Passo 4

Somando as duas partes da derivada temos:
ddxl[xarctan x - tfrac12ln(1+x^2)r] = l(arctan x + x1+x^2r) + l(-x1+x^2r)

Passo 5

Os termos +x1+x^2 e -x1+x^2 se cancelam, sobrando apenas arctan x.

Resposta

arctan x

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