Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(x+2)^x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função y = (x + 2)^x e precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, que é representada por d yd x. A técnica que vamos usar aqui é a derivação logarítmica, que é muito útil quando temos funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para isso, vamos precisar das propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
ln(y) = ln((x + 2)^x)
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a), ficamos com:
ln(y) = x cdot ln(x + 2)
Agora precisamos derivar os dois lados da equação em relação a x. Vamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo e a regra do produto do lado direito.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
ddx[ln(y)] = 1y cdot d yd x
Agora, vamos derivar o lado direito. Usando a regra do produto, temos:
ddx[x cdot ln(x + 2)] = ln(x + 2) + x cdot 1x + 2
Aqui, a derivada de x é 1 e a derivada de ln(x + 2) é 1x + 2, multiplicada por x que você já tinha. Assim, podemos simplificar:
ddx[x cdot ln(x + 2)] = ln(x + 2) + xx + 2

Passo 4

Igualando as derivadas, temos:
1y cdot d yd x = ln(x + 2) + xx + 2
Agora, para encontrar d yd x, basta multiplicar ambos os lados por y:
d yd x = y (ln(x + 2) + xx + 2)

Passo 5

Agora, lembrando que y = (x + 2)^x, podemos substituir:
d yd x = (x + 2)^x (ln(x + 2) + xx + 2)

Resposta

Portanto, a derivada d yd x é:
d yd x = (x + 2)^x (ln(x + 2) + xx + 2)

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