Determine as derivadas:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função $ f(x) = x^{\frac{2}{3}} \left(3x^{2} - 2x + 5\right) $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de duas funções. Para resolver, vamos usar a Regra do Produto, que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que é a multiplicação de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
u(x) = x^23
v(x) = 3x^2 - 2x + 5

Passo 3

Precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ individualmente.
Para $ u(x) = x^{\frac{2}{3}} $, usamos a regra do poder:
u(x)
Para $ v(x) = 3x^{2} - 2x + 5 $, derivamos termo a termo:
v(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de $ f(x) = u(x)v(x) $ é:
f(x) = u(x)v(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Passo 5

Simplificamos cada parte da expressão:
Primeira parte:
23x^-13 cdot 3x^2 = 2x^53
23x^-13 cdot (-2x) = -43x^23
23x^-13 cdot 5 = 103x^-13
Segunda parte:
x^23 cdot 6x = 6x^53
x^23 cdot (-2) = -2x^23
Agora, somamos todas as partes:
f'(x) = 2x^53 - 43x^23 + 103x^-13 + 6x^53 - 2x^23

Resposta

Finalmente, somando os termos semelhantes, obtemos:
f'(x) = 8x^53 - 103x^23 + 103x^-13

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