Determine as derivadas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função $ f(x) = x^{\frac{2}{3}} \left(3x^{2} - 2x + 5\right) $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de duas funções. Para resolver, vamos usar a Regra do Produto, que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que é a multiplicação de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
Passo 3
Precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ individualmente.
Para $ u(x) = x^{\frac{2}{3}} $, usamos a regra do poder:
Para $ v(x) = 3x^{2} - 2x + 5 $, derivamos termo a termo:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de $ f(x) = u(x)v(x) $ é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Simplificamos cada parte da expressão:
Primeira parte:
Segunda parte:
Agora, somamos todas as partes:
Resposta
Finalmente, somando os termos semelhantes, obtemos: