Calcule as derivadas das funções abaixo.
g(x)=\operatorname{sen}\left(5 \cdot \log _{3}(x)\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(5\cdot\log_{3}(x)\bigr).
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função está definida somente para x>0 (porque \log_{3}(x) exige x>0).
  • A tarefa é obter g'(x), a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Reconhecer a estrutura da função (sem resolver ainda): g(x) é uma composição de funções. Vamos identificar as partes:
  • Função exterior (externa): f(u)=\operatorname{sen}(u).
  • Função interior (interna): u(x)=5\cdot\log_{3}(x).
A regra que vamos usar é a Regra da Cadeia: se g(x)=f(u(x)), então
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando essa regra de forma simples: derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna. É como “desembrulhar” camadas: derivada de fora vezes derivada de dentro.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia ao nosso caso, escrevemos a derivada em forma simbólica (ainda sem simplificar completamente):
g'(x)=\cos\!\bigl(5\cdot\log_{3}(x)\bigr)\cdot \bigl(5\cdot\bigl(\log_{3}(x)\bigr)'\bigr).
Aqui usei que a derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \cos(u), e mantive a derivada da parte interna por calcular.

Passo 4

Agora calculamos a derivada da parte interna u(x)=5\cdot\log_{3}(x).
  • O fator 5 é constante, então sai multiplicando: u'(x)=5\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(\log_{3}(x)\bigr).
Falta então \dfrac{d}{dx}\bigl(\log_{3}(x)\bigr). Para isso usamos a mudança de base:
\log_{3}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln 3},
onde \ln é o logaritmo natural. Como \ln 3 é constante, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{3}(x)\bigr)=\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr).

Passo 5

Recordando a derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\dfrac{1}{x} para x>0. (Intuição rápida: \ln(x) cresce com taxa inversa a x.)
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{3}(x)\bigr)=\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln 3}.

Passo 6

Voltando a u'(x), juntando tudo:
u'(x)=5\cdot\frac{1}{x\ln 3}=\frac{5}{x\ln 3}.
Agora substituímos em g'(x) (usando a expressão da Passo 3):
g'(x)=\cos\!\bigl(5\cdot\log_{3}(x)\bigr)\cdot\frac{5}{x\ln 3}.

Passo 7

Interpretação final e observações rápidas (para você lembrar na prova):
  • A derivada existe para x>0, que é o domínio natural da função original.
  • Uma forma equivalente de escrever a resposta seria \dfrac{5}{\ln 3}\cdot\dfrac{\cos\!\bigl(5\log_{3}(x)\bigr)}{x}; tanto faz, escolha a que achar mais clara na hora da prova.
  • Um erro comum é esquecer o fator \dfrac{1}{\ln 3} vindo da derivada de \log_{3}(x); por isso vale a pena sempre transformar \log_a(x)=\ln x/\ln a antes de derivar.

Resposta

\displaystyle g'(x)=\frac{5}{x\ln 3}\,\cos\!\bigl(5\log_{3}(x)\bigr)

Exercícios relacionados