Calcule as derivadas das funções abaixo.
g(x)=\operatorname{sen}\left(5 \cdot \log _{3}(x)\right).
g(x)=\operatorname{sen}\left(5 \cdot \log _{3}(x)\right).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função está definida somente para
(porque exige ). - A tarefa é obter
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Reconhecer a estrutura da função (sem resolver ainda):
é uma composição de funções. Vamos identificar as partes:
- Função exterior (externa):
. - Função interior (interna):
.
A regra que vamos usar é a Regra da Cadeia: se
, então
Explicando essa regra de forma simples: derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna. É como “desembrulhar” camadas: derivada de fora vezes derivada de dentro.
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia ao nosso caso, escrevemos a derivada em forma simbólica (ainda sem simplificar completamente):
Aqui usei que a derivada de
em relação a
é
, e mantive a derivada da parte interna por calcular.
Passo 4
Agora calculamos a derivada da parte interna
.
- O fator
é constante, então sai multiplicando: .
Falta então
. Para isso usamos a mudança de base:
onde
é o logaritmo natural. Como
é constante, temos
Passo 5
Recordando a derivada do logaritmo natural:
para
. (Intuição rápida:
cresce com taxa inversa a
.)
Portanto
Passo 6
Voltando a
, juntando tudo:
Agora substituímos em
(usando a expressão da Passo 3):
Passo 7
Interpretação final e observações rápidas (para você lembrar na prova):
- A derivada existe para
, que é o domínio natural da função original. - Uma forma equivalente de escrever a resposta seria
; tanto faz, escolha a que achar mais clara na hora da prova. - Um erro comum é esquecer o fator
vindo da derivada de ; por isso vale a pena sempre transformar antes de derivar.