Determine as derivadas de cada função dada abaixo:
f(x)=\operatorname{sen} x \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin x\;\tan x.
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e as derivadas básicas das funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos
u(x)=\sin x, \quad v(x)=\tan x.
Então
u'(x)=\cos x, \quad v'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
isto é,
f'(x)=\cos x\;\tan x+\sin x\;\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Note que \cos x\;\tan x=\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x. Logo
f'(x)=\sin x+\sin x\;\operatorname{sec}^2 x =\sin x\bigl(1+\operatorname{sec}^2 x\bigr).

Resposta

f'(x)=\sin x\bigl(1+\operatorname{sec}^2 x\bigr).

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