Determine as derivadas direcionais das funções f(x) abaixo, na direção do vetor U dado. Usando a definição por meio de limites.
f(x, y)=3 x^2+6 y^2 ; U=cos pi4 i+sen pi4 j

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas direcionais de f(x,y)=3x^2+6y^2 na direção do vetor unitário U=costfracpi4,i+sintfracpi4,j usando a definição por limites. O conteúdo envolvido é derivada direcional e limites.

Passo 2

A definição de derivada direcional de f em direção a U=(a,b) é
DUf(x,y)=limhto0f(x+ha,y+hb)-f(x,y)h
Aqui temos a=costfracpi4 e b=sintfracpi4.

Passo 3

Substituímos f e (a,b) na definição:
DUf(x,y)=limhto03(x+hcostfracpi4)^2+6(y+hsintfracpi4)^2-l(3x^2+6y^2r)h

Passo 4

Expandimos os quadrados no numerador:
3l(x^2+2xhcostfracpi4+h^2cos^2tfracpi4r) +6l(y^2+2yhsintfracpi4+h^2sin^2tfracpi4r) -3x^2-6y^2
Agrupando termos em h e h^2:
(6xcostfracpi4+12ysintfracpi4)h+(3cos^2tfracpi4+6sin^2tfracpi4)h^2

Passo 5

Dividimos tudo por h e fazemos hto0. O termo em h^2/h some, sobrando:
DUf(x,y)=6xcostfracpi4+12ysintfracpi4

Passo 6

Como costfracpi4=sintfracpi4=tfracraiz22, temos:
DUf(x,y)=6xraiz22+12yraiz22=(3x+6y)raiz2=3raiz2,(x+2y)

Resposta

DUf(x,y)=3raiz2,(x+2y)

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