Determine as derivadas das expressões a seguir, e simplifique as expressões obtidas após a derivação.
y=116 cdot(5 x+4 sen(2 x)-sen^3(2 x)3+34 sen(4 x))

Passo 1

A questão pede para derivar a função
y=116l(5x+4sin(2x)-sin^3(2x)3+34sin(4x)r),
então o conteúdo é derivadas de funções trigonométricas e uso da regra da cadeia. Vamos precisar saber que
ddx[sin(u)]=cos(u),u',
ddx[u^3]=3u^2,u',
• derivada de ax é a.

Passo 2

Vamos chamar o que está dentro dos parênteses de F(x)=5x+4sin(2x)-tfracsin^3(2x)3+tfrac34sin(4x). Então
y=116F(x)implies y'=116F'(x)
Só falta calcular F'(x).

Passo 3

Derivando cada termo de F(x):
ddx[5x]=5
ddx[4sin(2x)]=4cdot(cos(2x)cdot2)=8cos(2x)
ddxl[-tfracsin^3(2x)3r]=-tfrac13cdot3sin^2(2x)cdot(cos(2x)cdot2)=-2sin^2(2x)cos(2x)
ddxl[tfrac34sin(4x)r]=tfrac34cdot(cos(4x)cdot4)=3cos(4x)
Somando, fica
F'(x)=5+8cos(2x)-2sin^2(2x)cos(2x)+3cos(4x)

Passo 4

Multiplicando por 1/16 e simplificando coeficientes:
$$y’=\frac5{16}+\frac{8}{16}\cos(2x)-\frac{2}{16}\sin^2(2x)\cos(2x)+\frac{3}{16}\cos(4x).
$$
Como y'=516+816cos(2x)-216sin^2(2x)cos(2x)+316cos(4x) e 8/16=1/2, temos a forma final.

Passo 5

Aqui conclui-se a derivada simplificada da função dada.

Resposta

y'=516+12cos(2x)-18sin^2(2x)cos(2x)+316cos(4x)

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