Determine as derivadas das expressões a seguir, e simplifique as expressões obtidas após a derivação.
y=1raiz5 cdot ln |2 x+3-raiz52 x+3+raiz5|

Passo 1

Temos a função y=1raiz5lnl|2x+3-raiz52x+3+raiz5r|. O conteúdo é derivação de logaritmo natural composto, usando a regra da cadeia e a fórmula ddx[ln|u|]=u'u.

Passo 2

Definimos u=2x+3, de modo que A=u-raiz5 e B=u+raiz5. Assim
$$y=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigl(\ln|A|-\ln|B|\bigr)\quad\Longrightarrow\quad y

Passo 3

Como A'=u'=2 e B'=u'=2,
y'=1raiz5l(2u-raiz5-2u+raiz5r) =1raiz5cdot 2l((u+raiz5)-(u-raiz5)r)(u-raiz5)(u+raiz5) =1raiz5cdot 4raiz5u^2-5

Passo 4

Substituindo u=2x+3 e simplificando o denominador:
[y’=\frac{4}{(2x+3)^2-5} = \frac{4}{4x^2+12x+9-5} = \frac{4}{4(x^2+3x+1)} = \frac{1}{x^2+3x+1}.

Resposta

y'=1x^2+3x+1

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