Determine as derivadas das expressões a seguir, e simplifique as expressões obtidas após a derivação.
y=tg^3 x3-tg(x)+x

Passo 1

Neste exercício temos a função
y=tan^3 x3-tan x + x
O conteúdo é derivada de funções trigonométricas e compostas. Vamos precisar da regra da cadeia e da derivada básica de tan x, que é sec^2 x.

Passo 2

Derivando termo a termo:
ddxl(tan^3 x3r)=13cdot3tan^2 xcdotsec^2 x=tan^2 xsec^2 x
ddx(-tan x)=-sec^2 x
ddx(x)=1

Passo 3

Somando os resultados, obtemos
y'=tan^2 xsec^2 x - sec^2 x + 1
Agora simplificamos usando a identidade tan^2 x+1=sec^2 x. Fatorando sec^2 x temos
y'=sec^2 xl(tan^2 x-1r)+1
Como tan^2 x-1=sec^2 x-2, segue
y'=sec^4 x -2sec^2 x +1=(sec^2 x-1)^2=tan^4 x

Resposta

y'=tan^4 x

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