Determine uma função f tal que F=nabla f e calcule integralC F cdot d r sobre a curva C dada. F(x, y)=x y^2 i+x y^2 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função $ f $ tal que $ F = \nabla f $ e, depois, calcular a integral de linha $ \int_{C} F \cdot d\mathbf{r} $ sobre uma curva $ C $. Aqui, a função vetorial $ F $ é dada por $ F(x, y) = x y^{2} \mathbf{i} + x y^{2} \mathbf{j} $. Vamos precisar entender sobre campos vetoriais, gradientes e integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função $ f $ tal que $ F = \nabla f $. O operador $ \nabla f $ representa o gradiente de $ f $, que, em coordenadas cartesianas, é dado por:
f
Então, temos que:
F = nabla f

Passo 3

Vamos integrar $ \frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} $ em relação a $ x $ para encontrar $ f $:
partial fpartial x = x y^2
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação $ \frac{\partial f}{\partial y} = x y^{2} $. Calculando a derivada de $ f $ em relação a $ y $:
partial fpartial y = x y^2
Igualando a $ x y^{2} $:
f

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $ e $ y $, os termos envolvendo $ x $ devem ser iguais. Assim, comparando os coeficientes:
x
Isso só é possível se $ x y = y^{2} $, o que não é verdadeiro para todo $ x $ e $ y $. Isso indica que não existe uma função $ f $ que satisfaça $ F = \nabla f $ para este campo vetorial específico.

Resposta

Não existe uma função $ f $ tal que $ F = \nabla f $ para o campo vetorial dado.

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