Determine as derivadas das expressões a seguir, e simplifique as expressões obtidas após a derivação.
y=3 cdot ln |sen(x3)|

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y = 3 lnl|sin(tfracx3)r|. O conteúdo envolvido é a derivada de ln|u| e a aplicação da regra da cadeia para a função interna u = sin(tfracx3).

Passo 2

A regra para derivar ln|u| diz que
ddxl[ln|u|r] = u'u.
Aqui, u(x)=sin(tfracx3), então
$$y’ = 3 \cdot \frac{u’(x)}{u(x)} = 3 \cdot \frac{u’(x)}{\sin(\tfrac{x}{3})}.
$$

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em u(x)=sin(tfracx3):
u'(x) = cos(tfracx3) cdot ddx(tfracx3) = cos(tfracx3) cdot tfrac13
Substituindo em y':
$$y’ = 3 \cdot \frac{\cos(\tfrac{x}{3}) \cdot \tfrac{1}{3}}{\sin(\tfrac{x}{3})} = \frac{\cos(\tfrac{x}{3})}{\sin(\tfrac{x}{3})}.
$$

Passo 4

Reconhecendo que cos(t)sin(t)=cot(t), concluímos que
y'=cotl(tfracx3r)

Resposta

y'=cotl(tfracx3r)

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