Maximize f(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede pra maximizar a função f(x,y)=xy sem nenhuma restrição. Esse tipo de problema é de otimização sem restrições, e a gente vai usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois classificar com a matriz Hessiana.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x=y
e
partial fpartial y=x
Para achar pontos críticos, igualamos ambas a zero: y=0 e x=0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Forme a matriz Hessiana H com as segundas derivadas:
H=fxx & fxyfyx & fyy=0 & 11 & 0
O determinante de H é det(H)=0·0−1·1=−1, que é negativo. Isso indica que H é indefinida e o ponto (0,0) é um ponto de sela.

Passo 4

Como não há nenhum outro ponto crítico e f(x,y)→+∞ quando x e y crescem em magnitude com o mesmo sinal, a função não atinge um valor máximo finito. Ou seja, não existe máximo.

Resposta

A função não possui valor máximo, pois é ilimitada superiormente.

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