Maximize
Passo 1
O enunciado pede pra maximizar a função f(x,y)=xy sem nenhuma restrição. Esse tipo de problema é de otimização sem restrições, e a gente vai usar derivadas parciais para achar pontos críticos e depois classificar com a matriz Hessiana.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de f. Temos
e
Para achar pontos críticos, igualamos ambas a zero: y=0 e x=0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).
Passo 3
Forme a matriz Hessiana H com as segundas derivadas:
O determinante de H é det(H)=0·0−1·1=−1, que é negativo. Isso indica que H é indefinida e o ponto (0,0) é um ponto de sela.
Passo 4
Como não há nenhum outro ponto crítico e f(x,y)→+∞ quando x e y crescem em magnitude com o mesmo sinal, a função não atinge um valor máximo finito. Ou seja, não existe máximo.
Resposta
A função não possui valor máximo, pois é ilimitada superiormente.