Determine as derivadas das funções a seguir:
y=sec [ln (1+x^2)]

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando lidamos com funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função para aplicar a Regra da Cadeia. Podemos ver que temos três funções compostas:

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de dydv = sec(v) tan(v) em relação a . Sabemos que a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, encontramos a derivada de dvdu = 1u em relação a . Como , a derivada é:

Passo 5

Em seguida, encontramos a derivada de dudx = 2x em relação a . Já que , a derivada é:

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando as derivadas que encontramos:
dydx = dydv cdot dvdu cdot dudx
Substituindo as derivadas:
dydx = sec(v) tan(v) cdot 1u cdot 2x

Passo 7

Por fim, substituímos v = ln(1 + x^2) e u = 1 + x^2 e dydx = sec[ln(1 + x^2)] tan[ln(1 + x^2)] cdot 11 + x^2 cdot 2x de volta em termos de :
Então:

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 2x cdot sec[ln(1 + x^2)] tan[ln(1 + x^2)]1 + x^2

Exercícios relacionados