Um fabricante estima que o custo marginal para produzir q unidades de um certo produto é C^prime(q)=3 q^2-12 q+12 reais por unidade. Se o custo para produzir 10 unidades é de R , qual é o custo para produzir 20 unidades?

Passo 1

A questão é de Cálculo e fala sobre custo marginal, que é a derivada do custo total em relação à quantidade. Temos o custo marginal dado por C'(q)=3q^2-12q+12 e a informação de que o custo total para 10 unidades é R$ 5.000,00. Vamos usar integração para achar a função custo total e depois calcular para 20 unidades.

Passo 2

Para obter o custo total C(q), integramos o custo marginal. Assim,
C(q)=integral C'(q),dq=integral(3q^2-12q+12),dq=q^3-6q^2+12q+K,

Passo 3

onde K é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição dada.

Passo 4

Usando C(10)=5000, substituímos na expressão de C(q):
C(10)=10^3-6cdot10^2+12cdot10+K=1000-600+120+K=520+K=5000

Passo 5

Logo,
K=5000-520=4480

Passo 6

Agora temos C(q)=q^3-6q^2+12q+4480. Para encontrar o custo em 20 unidades, calculamos:
C(20)=20^3-6cdot20^2+12cdot20+4480=8000-2400+240+4480=10320

Resposta

O custo para produzir 20 unidades é R$ 10.320,00.

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