Calcule a integral definida dada usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral-1^1(2 u^1 / 3-u^2 / 3) d u

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral definida de
integral-1^1l(2u^1/3-u^2/3r),du
O conteúdo é aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma primitiva de cada termo do integrando e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de 2u^1/3-u^2/3, lembramos que a integral de u^p é
integral u^p,du=u^p+1p+1+C
Aplicando a cada termo:
  • Para 2u^1/3:
integral 2u^1/3,du=2cdotu^1/3+11/3+1=2cdotu^4/34/3=32u^4/3
  • Para -u^2/3:
integral -u^2/3,du=-u^2/3+12/3+1=-u^5/35/3=-35u^5/3
Então uma primitiva comum é
F(u)=32u^4/3-35u^5/3

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: basta calcular
F(1)-F(-1)
Precisamos levar em conta que:
  • 1^4/3=1 e 1^5/3=1.
  • Para -1: como (-1)^4/3=((-1)^4)^1/3=1 e (-1)^5/3=((-1)^5)^1/3=-1.
    Logo:
F(1)=32cdot1-35cdot1=32-35=15-610=910
F(-1)=32cdot1-35cdot(-1)=32+35=15+610=2110

Passo 4

Subtraindo:
integral-1^1l(2u^1/3-u^2/3r),du=F(1)-F(-1)=910-2110=-1210=-65

Resposta

-6/5

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