Determine as derivadas
(a) \frac{d}{d x} \tan x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada de \tan x em relação a x.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas e úteis):
\tan x pode ser escrita como uma razão de funções trigonométricas:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Devemos lembrar que essa expressão só faz sentido (e a derivada só existe) quando \cos x \neq 0 (ou seja, x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).

Passo 2

Estratégia escolhida: usar a regra do quociente.
Vou explicar a regra do quociente: se temos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq 0, e escrevemos f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então a derivada de f é
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}.
O que essa fórmula diz, em palavras simples: para derivar uma razão, deriva-se o numerador e multiplica-se pelo denominador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.
Breve justificativa (intuição): escrevemos \dfrac{u}{v}=u\cdot v^{-1} e usamos a regra do produto e a regra da cadeia (a derivada de v^{-1} é -v^{-2}v'). Se quiser, passo a passo isso é:
\frac{d}{dx}(u v^{-1}) = u'v^{-1} + u\cdot\big(-v^{-2}v'\big) = \frac{u'v-uv'}{v^2}.

Passo 3

Antes de aplicar a regra do quociente, preciso usar as derivadas básicas das funções trigonométricas que aparecem: \sin x e \cos x. Vou mostrar (de forma direta) que
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Derivação de \sin x (síntese do argumento via definição do limite):
\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.
Usando a identidade de soma de ângulos \sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h, obtemos
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Sabemos os limites fundamentais (resultados clássicos):
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1,\qquad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Aplicando esses limites,
\frac{d}{dx}\sin x=\sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1=\cos x.
Derivação de \cos x pode ser obtida de forma análoga (ou usando \cos x=\sin(x+\tfrac{\pi}{2}) e a regra de cadeia), o que dá
\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Esses são resultados fundamentais que usaremos na aplicação da regra do quociente.

Passo 4

Agora aplico a regra do quociente com u(x)=\sin x e v(x)=\cos x. Então u'(x)=\cos x e v'(x)=-\sin x. Pela fórmula:
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2} = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}.
Simplificando o numerador:
\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)=\cos^2 x + \sin^2 x.
Mas a identidade trigonométrica básica diz que \cos^2 x+\sin^2 x=1. Logo
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}.
Uma forma alternativa e costumeira de escrever isso usa a função secante \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Observações finais e cheque rápido:
  • A derivada só existe onde \cos x\neq 0 (ou seja, fora de x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).
  • Checagem simples: em x=0 temos \tan'0=\operatorname{sec}^2 0=1, e isso bate com a inclinação do gráfico de \tan x em 0.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x

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