Determine as derivadas
(a)
(a)
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas e úteis):
pode ser escrita como uma razão de funções trigonométricas:
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas e úteis):
Devemos lembrar que essa expressão só faz sentido (e a derivada só existe) quando
(ou seja,
,
).
Passo 2
Estratégia escolhida: usar a regra do quociente.
Vou explicar a regra do quociente: se temos duas funções e
com
, e escrevemos
, então a derivada de
é
Vou explicar a regra do quociente: se temos duas funções
O que essa fórmula diz, em palavras simples: para derivar uma razão, deriva-se o numerador e multiplica-se pelo denominador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.
Breve justificativa (intuição): escrevemos e usamos a regra do produto e a regra da cadeia (a derivada de
é
). Se quiser, passo a passo isso é:
Breve justificativa (intuição): escrevemos
Passo 3
Antes de aplicar a regra do quociente, preciso usar as derivadas básicas das funções trigonométricas que aparecem:
e
. Vou mostrar (de forma direta) que
Derivação de
(síntese do argumento via definição do limite):
Usando a identidade de soma de ângulos
, obtemos
Sabemos os limites fundamentais (resultados clássicos):
Aplicando esses limites,
Derivação de
pode ser obtida de forma análoga (ou usando
e a regra de cadeia), o que dá
Esses são resultados fundamentais que usaremos na aplicação da regra do quociente.
Passo 4
Agora aplico a regra do quociente com
e
. Então
e
. Pela fórmula:
Simplificando o numerador:
Mas a identidade trigonométrica básica diz que
. Logo
Uma forma alternativa e costumeira de escrever isso usa a função secante
, então
Passo 5
Observações finais e cheque rápido:
- A derivada só existe onde
(ou seja, fora de ). - Checagem simples: em
temos , e isso bate com a inclinação do gráfico de em .