Encontre as seguintes derivadas
(h) y=\operatorname{sen}\left(\frac{v}{v^{3}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\operatorname{sen}\!\left(\frac{v}{v^{3}+1}\right).
Informações dadas (resumindo): a função é a composição da função seno (escrita como \operatorname{sen}) com a função racional \displaystyle v\mapsto\frac{v}{v^{3}+1}. A tarefa é encontrar y'=\frac{dy}{dv}.

Passo 2

Conceito importante 1 — Regra da cadeia: quando temos uma função composta \displaystyle y=\operatorname{sen}(u(v)), a derivada é dada por multiplicar a derivada da função exterior avaliada em u pela derivada da função interior u(v). Em fórmula:
\frac{dy}{dv}=\operatorname{cos}(u(v))\cdot \frac{du}{dv}.
Aqui \operatorname{cos} é a derivada da função seno (ou seja, \frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\operatorname{cos}(u)). Explicando as peças: u(v) é a “parte interna” — quando aplicamos a regra da cadeia, primeiro derivamos o externo (seno) como se u fosse a variável, depois multiplicamos pelo que a parte interna varia com v.

Passo 3

Identificação das partes para aplicar a regra da cadeia: defina
u(v)=\frac{v}{v^{3}+1}.
Então, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dv}=\operatorname{cos}\!\big(u(v)\big)\cdot \frac{du}{dv} =\operatorname{cos}\!\left(\frac{v}{v^{3}+1}\right)\cdot \frac{du}{dv}.
Agora precisamos calcular \displaystyle \frac{du}{dv}.

Passo 4

Conceito importante 2 — Regra do quociente: se \displaystyle u(v)=\frac{f(v)}{g(v)} com g(v)\neq 0, então
\frac{du}{dv}=\frac{f'(v)\,g(v)-f(v)\,g'(v)}{[g(v)]^{2}}.
Aqui escolhemos f(v)=v e g(v)=v^{3}+1. Calculemos f'(v) e g'(v):
f'(v)=1,\qquad g'(v)=3v^{2}.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente com os valores acima:
\frac{du}{dv}=\frac{1\cdot (v^{3}+1) - v\cdot (3v^{2})}{(v^{3}+1)^{2}}.
Agora fazemos a álgebra no numerador passo a passo:
1\cdot (v^{3}+1)=v^{3}+1,
v\cdot (3v^{2})=3v^{3},
portanto
v^{3}+1-3v^{3}=1-2v^{3}.
Logo
\frac{du}{dv}=\frac{1-2v^{3}}{(v^{3}+1)^{2}}.

Passo 6

Voltando para a regra da cadeia e substituindo \displaystyle \frac{du}{dv} que acabamos de obter:
\frac{dy}{dv}=\operatorname{cos}\!\left(\frac{v}{v^{3}+1}\right)\cdot \frac{1-2v^{3}}{(v^{3}+1)^{2}}.
Isso já é a forma final simplificada da derivada. Se quiser, pode reescrever multiplicando os fatores, mas esta forma é clara e direta para a prova.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (bem curto): se tivéssemos y=\operatorname{sen}(3v), a regra da cadeia nos diria
\frac{dy}{dv}=\operatorname{cos}(3v)\cdot 3,
ou seja, derivamos o seno e multiplicamos pela derivada de 3v. É exatamente o mesmo raciocínio que usamos no problema maior.

Passo 8

Dica de prova: quando vir \operatorname{sen} (ou \sin) de alguma expressão complicada, já pense em “regra da cadeia” e identifique a parte interna; se a parte interna for uma fração, prepare-se para a regra do quociente. Respira fundo, separa em etapas (exterior → derivada; interior → derivada) e resolve com calma.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dv}=\operatorname{cos}\!\left(\frac{v}{v^{3}+1}\right)\cdot \frac{1-2v^{3}}{(v^{3}+1)^{2}}

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