Encontre as seguintes derivadas
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas (resumindo): a função é a composição da função seno (escrita como
) com a função racional
. A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Conceito importante 1 — Regra da cadeia: quando temos uma função composta
, a derivada é dada por multiplicar a derivada da função exterior avaliada em
pela derivada da função interior
. Em fórmula:
Aqui
é a derivada da função seno (ou seja,
). Explicando as peças:
é a “parte interna” — quando aplicamos a regra da cadeia, primeiro derivamos o externo (seno) como se
fosse a variável, depois multiplicamos pelo que a parte interna varia com
.
Passo 3
Identificação das partes para aplicar a regra da cadeia: defina
Então, pela regra da cadeia,
Agora precisamos calcular
.
Passo 4
Conceito importante 2 — Regra do quociente: se
com
, então
Aqui escolhemos
e
. Calculemos
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente com os valores acima:
Agora fazemos a álgebra no numerador passo a passo:
portanto
Logo
Passo 6
Voltando para a regra da cadeia e substituindo
que acabamos de obter:
Isso já é a forma final simplificada da derivada. Se quiser, pode reescrever multiplicando os fatores, mas esta forma é clara e direta para a prova.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (bem curto): se tivéssemos
, a regra da cadeia nos diria
ou seja, derivamos o seno e multiplicamos pela derivada de
. É exatamente o mesmo raciocínio que usamos no problema maior.
Passo 8
Dica de prova: quando vir
(ou
) de alguma expressão complicada, já pense em “regra da cadeia” e identifique a parte interna; se a parte interna for uma fração, prepare-se para a regra do quociente. Respira fundo, separa em etapas (exterior → derivada; interior → derivada) e resolve com calma.