Determine as derivadas das funçocs.
y=\frac{1}{x} \operatorname{sen}^{3 x} x-\frac{x}{3} \cos ^{3} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{1}{x}\bigl(\sin x\bigr)^{3x}\;-\;\frac{x}{3}\cos^3 x.
Para resolver, vamos usar:
  1. regra da cadeia e exponencial para derivar \bigl(\sin x\bigr)^{3x},
  2. regra do quociente para \frac{(\sin x)^{3x}}{x},
  3. regra do produto e cadeia para \frac{x}{3}\cos^3 x.

Passo 2

Defina
u(x) = \bigl(\sin x\bigr)^{3x}.
Escrevemos u(x) = e^{v(x)} com
v(x) = 3x\ln\bigl(\sin x\bigr).
Então
v'(x) = 3\ln\bigl(\sin x\bigr) + 3x\;\frac{\cos x}{\sin x} = 3\ln\bigl(\sin x\bigr) + 3x\cot x,
e
u'(x) = u(x)\,v'(x) = \bigl(\sin x\bigr)^{3x}\!\bigl[3\ln(\sin x)+3x\cot x\bigr].

Passo 3

Para
T_1(x)=\frac{u(x)}{x},
aplicamos a regra do quociente:
T_1'(x) = \frac{u'(x)\,x - u(x)\cdot1}{x^2} = \frac{(\sin x)^{3x}\bigl[\,3x\ln(\sin x)+3x^2\cot x-1\bigr]}{x^2}.

Passo 4

Para
T_2(x)=\frac{x}{3}\cos^3 x
usamos produto e cadeia:
T_2'(x) =\frac{1}{3}\Bigl[\cos^3 x + x\cdot3\cos^2 x\cdot(-\sin x)\Bigr] =\frac{1}{3}\cos^3 x - x\cos^2 x\,\sin x.

Passo 5

Como y = T_1 - T_2, temos
y' = T_1' - T_2' = \frac{(\sin x)^{3x}}{x^2}\bigl(3x\ln(\sin x)+3x^2\cot x-1\bigr) - \frac{1}{3}\cos^3 x + x\cos^2 x\,\sin x.

Resposta

y' = \frac{(\sin x)^{3x}}{x^2}\bigl(3x\ln(\sin x)+3x^2\cot x-1\bigr) - \frac{1}{3}\cos^3 x + x\cos^2 x\,\sin x.

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