Encontre os extremos relativos de f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-6 x y+14 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função
f(x,y) = 2x^{2} + y^{2} - 6xy + 14x.
O procedimento padrão é:
  1. Calcular o gradiente de f e igualar a zero para achar os pontos críticos.
  2. Usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou selado).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e imponhamos \nabla f = 0\). A derivada parcial em relação a \(x\) é \[\frac{\partial f}{\partial x} = 4x \;-\;6y \;+\;14,
e em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y \;-\;6x.
Igualando a zero, obtemos o sistema
\begin{cases} 4x - 6y + 14 = 0,\\\\ 2y - 6x = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem 2y = 6x\], ou seja, \[y = 3x.\] Substituindo em \(4x -6y +14=0,
4x - 6(3x) + 14 = 4x -18x +14 = -14x +14 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Logo y = 3. O único ponto crítico é
(1,3).

Passo 3

Agora classificamos (1,3) via a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\\\ -6 & 2 \end{pmatrix}.
O discriminante é
\det H = 4\cdot2 - (-6)^{2} = 8 - 36 = -28.
Como \det H < 0, o ponto crítico é um ponto de sela (nenhum extremo relativo).

Resposta

Não existem extremos relativos. O único ponto crítico (1,3) é um ponto de sela.

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