Determine as derivadas das funçocs.
y=x^{2} \operatorname{sen}^{4} x-x \cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = x^{2}\,\operatorname{sen}^{4}x \;-\; x\,\cos^{2}x.
Para isso vamos usar duas ferramentas principais de derivação: a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Começamos pela derivada de \;x^{2}\,\operatorname{sen}^{4}x. Aplicando a regra do produto em
u(x)=x^{2}, \quad v(x)=\operatorname{sen}^{4}x,
temos
\bigl(x^{2}\,\operatorname{sen}^{4}x\bigr)' = (x^{2})'\,\operatorname{sen}^{4}x \;+\; x^{2}\,(\operatorname{sen}^{4}x)'.
Como (x^{2})'=2x e, pela regra da cadeia,
(\operatorname{sen}^{4}x)' = 4\,\operatorname{sen}^{3}x\cdot(\operatorname{sen} x)' = 4\,\operatorname{sen}^{3}x\cdot\cos x,
segue
\bigl(x^{2}\,\operatorname{sen}^{4}x\bigr)' = 2x\,\operatorname{sen}^{4}x \;+\; x^{2}\,(4\,\operatorname{sen}^{3}x\cos x) = 2x\,\operatorname{sen}^{4}x \;+\;4\,x^{2}\,\operatorname{sen}^{3}x\cos x.

Passo 3

Agora derivamos \;x\,\cos^{2}x e depois colocamos o sinal menos. Para
u(x)=x, \quad v(x)=\cos^{2}x,
a regra do produto dá
\bigl(x\,\cos^{2}x\bigr)' = (x)'\,\cos^{2}x \;+\; x\,(\cos^{2}x)'.
Como (x)'=1 e, pela cadeia,
(\cos^{2}x)' = 2\,\cos x\cdot(\cos x)' = 2\,\cos x\cdot(-\operatorname{sen} x)= -2\,\cos x\,\operatorname{sen} x,
segue
\bigl(x\,\cos^{2}x\bigr)' = \cos^{2}x \;+\; x\,(-2\,\cos x\,\operatorname{sen} x) = \cos^{2}x \;-\;2x\,\cos x\,\operatorname{sen} x.
Como o termo original entra com sinal negativo, teremos
-\bigl(x\,\cos^{2}x\bigr)' = -\cos^{2}x \;+\;2x\,\cos x\,\operatorname{sen} x.

Passo 4

Juntando as duas derivadas obtidas:
y' = \bigl(x^{2}\,\operatorname{sen}^{4}x\bigr)' \;-\;\bigl(x\,\cos^{2}x\bigr)'
y' = \bigl(2x\,\operatorname{sen}^{4}x + 4x^{2}\,\operatorname{sen}^{3}x\cos x\bigr) \;+\;\bigl(-\cos^{2}x + 2x\,\cos x\,\operatorname{sen} x\bigr).

Resposta

\boxed{ y' = 2x\,\operatorname{sen}^{4}x \;+\;4x^{2}\,\operatorname{sen}^{3}x\cos x \;-\;\cos^{2}x \;+\;2x\,\cos x\,\operatorname{sen} x. }

Exercícios relacionados