Determine as derivadas das funçocs.
y=\frac{1}{21}(3 x-2)^{2}+\left(4-\frac{1}{2 x^{2}}\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{1}{21}(3x-2)^{2} \;+\;\biggl(4 - \frac{1}{2x^{2}}\biggr)^{-1}.
O que vamos usar é a regra da soma, a regra do fator constante e a regra da cadeia para potências.

Passo 2

Derivada do primeiro termo \tfrac{1}{21}(3x-2)^{2}:
Aplicamos a regra do fator constante e da cadeia. Se u=3x-2, então
\frac{d}{dx}\bigl(u^{2}\bigr)=2u\cdot u' \quad\text{e}\quad u'=3.
Logo,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{21}(3x-2)^{2}\Bigr) = \frac{1}{21}\cdot 2(3x-2)\cdot3 = \frac{6(3x-2)}{21} = \frac{2}{7}(3x-2).

Passo 3

Derivada do segundo termo \bigl(4 - \tfrac{1}{2x^{2}}\bigr)^{-1}:
Sea v = 4 - \tfrac{1}{2x^{2}}, então a função é v^{-1}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(v^{-1}\bigr) = -1\cdot v^{-2}\cdot v'.
Agora calculamos v':
v = 4 - \frac{1}{2}x^{-2}, \quad v' = 0 - \frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3} = x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\Bigl(\bigl(4 - \tfrac{1}{2x^{2}}\bigr)^{-1}\Bigr) = -\,\bigl(4 - \tfrac{1}{2x^{2}}\bigr)^{-2}\cdot \frac{1}{x^{3}} = -\frac{1}{x^{3}}\;\bigl(4 - \tfrac{1}{2x^{2}}\bigr)^{-2}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
y' = \frac{2}{7}(3x-2)\;-\;\frac{1}{x^{3}}\;\bigl(4 - \tfrac{1}{2x^{2}}\bigr)^{-2}.

Resposta

y' = \frac{2}{7}(3x-2)\;-\;\frac{1}{x^{3}\,\bigl(4 - \tfrac{1}{2x^{2}}\bigr)^{2}}.

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