Determine as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar
, a derivada de
.
Informações relevantes: a notação corresponde à cossecante, isto é,
; e
corresponde à tangente, isto é,
. Portanto podemos reescrever
Informações relevantes: a notação
Passo 2
Revisão das regras e fórmulas que vamos usar (com explicação simples):
- Regra do produto: se
, então
Isto significa: derivamos uma das partes, multiplicamos pela outra sem derivar, e somamos ao produto da primeira parte sem derivar pela derivada da segunda.
- Derivadas das funções trigonométricas que aparecem:
-
. Explicação: sen varia e sua taxa de variação é cosseno. -
. -
. Isto vem de e aplicar a regra do quociente ou usar identidade padrão. -
. Explicação curta: ; ao derivar usando a regra da cadeia obtemos , que se reescreve como porque e .
-
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Agora calculamos as derivadas de
e
usando as fórmulas do passo anterior:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
obtém-se
Isto já é uma expressão correta para
. Agora vamos simplificar passo a passo para ficar mais manejável na prova.
Passo 5
Vamos expandir e converter algumas parcelas para formas em
e
quando isso ajudar a simplificar.
Primeira parcela:
Segunda parcela:
Terceira parcela:
Agora calcule cada termo:
Portanto a terceira parcela é
Passo 6
Somando todas as parcelas que obtivemos:
Note que
e
se cancelam. Restando:
Usamos a identidade trigonométrica
, então
. Assim:
Passo 7
Agrupando termos de forma compacta usando funções trigonométricas já conhecidas (para deixar a resposta mais legível na prova), lembrando que
e
, obtemos uma forma agradável:
Esta expressão é equivalente à forma expandida do passo anterior, mas mais compacta e fácil de comparar na hora da prova.