Determine as derivadas das funções abaixo:
g(x)=(\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{tg}(x))(\sin (x)+\cos (x))

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x) = (\operatorname{cossec}(x) + \operatorname{tg}(x))(\sin(x) + \cos(x))
e pede para determinar g'(x), a derivada de g.
Informações relevantes: a notação \operatorname{cossec}(x) corresponde à cossecante, isto é, \csc(x); e \operatorname{tg}(x) corresponde à tangente, isto é, \tan(x). Portanto podemos reescrever
g(x) = (\csc x + \tan x)(\sin x + \cos x).

Passo 2

Revisão das regras e fórmulas que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x), então
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivamos uma das partes, multiplicamos pela outra sem derivar, e somamos ao produto da primeira parte sem derivar pela derivada da segunda.
  • Derivadas das funções trigonométricas que aparecem:
    • \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Explicação: sen varia e sua taxa de variação é cosseno.
    • \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
    • \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x. Isto vem de \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente ou usar identidade padrão.
    • \dfrac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x. Explicação curta: \csc x=(\sin x)^{-1}; ao derivar (\sin x)^{-1} usando a regra da cadeia obtemos -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}, que se reescreve como -\csc x\cot x porque \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=\csc x+\tan x,\qquad v(x)=\sin x+\cos x.
Agora calculamos as derivadas de u e v usando as fórmulas do passo anterior:
u'(x)=\dfrac{d}{dx}(\csc x)+\dfrac{d}{dx}(\tan x) = -\csc x\cot x + \operatorname{sec}^2 x,
v'(x)=\dfrac{d}{dx}(\sin x)+\dfrac{d}{dx}(\cos x) = \cos x - \sin x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtém-se
g'(x)=\big(-\csc x\cot x+\operatorname{sec}^2 x\big)\,(\sin x+\cos x)+(\csc x+\tan x)\,(\cos x-\sin x).
Isto já é uma expressão correta para g'(x). Agora vamos simplificar passo a passo para ficar mais manejável na prova.

Passo 5

Vamos expandir e converter algumas parcelas para formas em \sin e \cos quando isso ajudar a simplificar.
Primeira parcela:
-\csc x\cot x(\sin x+\cos x) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}(\sin x+\cos x) = -\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = -\cot x - \cot^2 x.
Segunda parcela:
\operatorname{sec}^2 x(\sin x+\cos x) = \frac{1}{\cos^2 x}(\sin x+\cos x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \operatorname{sec} x.
Terceira parcela:
(\csc x+\tan x)(\cos x-\sin x) = \csc x\cos x - \csc x\sin x + \tan x\cos x - \tan x\sin x.
Agora calcule cada termo:
\csc x\cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x,\qquad \csc x\sin x = 1,
\tan x\cos x = \frac{\sin x}{\cos x}\cos x = \sin x,\qquad \tan x\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}\sin x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Portanto a terceira parcela é
\cot x - 1 + \sin x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}.

Passo 6

Somando todas as parcelas que obtivemos:
g'(x)=\big(-\cot x - \cot^2 x\big) + \Big(\frac{\sin x}{\cos^2 x} + \operatorname{sec} x\Big) + \Big(\cot x - 1 + \sin x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}\Big).
Note que -\cot x e +\cot x se cancelam. Restando:
g'(x) = -\cot^2 x - 1 + \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \operatorname{sec} x + \sin x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Usamos a identidade trigonométrica 1+\cot^2 x=\csc^2 x, então -\cot^2 x -1 = -\csc^2 x. Assim:
g'(x) = -\csc^2 x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \operatorname{sec} x + \sin x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}.

Passo 7

Agrupando termos de forma compacta usando funções trigonométricas já conhecidas (para deixar a resposta mais legível na prova), lembrando que \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\tan x\,\operatorname{sec} x e \dfrac{\sin^2 x}{\cos x}=\sin x\,\tan x, obtemos uma forma agradável:
g'(x) = -\csc^2 x + \operatorname{sec} x(\tan x + 1) + \sin x(1 - \tan x).
Esta expressão é equivalente à forma expandida do passo anterior, mas mais compacta e fácil de comparar na hora da prova.

Resposta

-\csc^2 x + \operatorname{sec} x(\tan x + 1) + \sin x(1 - \tan x)

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