Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de
em relação a
. Isso envolve álgebra e cálculo, especificamente divisão de polinômios e integração. Vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir
por
. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, a divisão vai resultar em um polinômio mais simples mais um resto. Vamos lá:
- Dividir o termo de maior grau:
. - Multiplicar o divisor pelo quociente:
. - Subtrair do polinômio original:
. - Repetir o processo:
. - Multiplicar novamente:
. - Subtrair:
. - Mais uma vez:
. - Multiplicar:
. - Subtrair:
.
Então, a divisão fica:
Passo 3
Agora que a gente simplificou a fração, podemos reescrever a integral assim:
Isso separa a integral em partes mais fáceis de resolver.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
Aqui usamos a regra básica da potência:. -
Mesma regra da potência aplicada com. -
A integral de uma constante é a constante vezes. -
Aqui usamos a fórmula da integral, onde .
Passo 5
Agora, juntando todas as partes integradas:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
é: