Calcule as integrais abaixo:
integral x^3+2 xx-1 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de x^3 + 2xx - 1 em relação a x. Isso envolve álgebra e cálculo, especificamente divisão de polinômios e integração. Vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir x^3 + 2x por x - 1. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, a divisão vai resultar em um polinômio mais simples mais um resto. Vamos lá:
  1. Dividir o termo de maior grau: x^3 div x = x^2.
  2. Multiplicar o divisor pelo quociente: x^2 times (x - 1) = x^3 - x^2.
  3. Subtrair do polinômio original: (x^3 + 2x) - (x^3 - x^2) = x^2 + 2x.
  4. Repetir o processo: x^2 div x = x.
  5. Multiplicar novamente: x times (x - 1) = x^2 - x.
  6. Subtrair: (x^2 + 2x) - (x^2 - x) = 3x.
  7. Mais uma vez: 3x div x = 3.
  8. Multiplicar: 3 times (x - 1) = 3x - 3.
  9. Subtrair: 3x - (3x - 3) = 3.
Então, a divisão fica:
x^3 + 2xx - 1 = x^2 + x + 3 + 3x - 1

Passo 3

Agora que a gente simplificou a fração, podemos reescrever a integral assim:
integral x^3 + 2xx - 1 ,dx = integral ( x^2 + x + 3 + 3x - 1 ) ,dx
Isso separa a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral x^2 ,dx = 13x^3
    Aqui usamos a regra básica da potência: integral x^n ,dx = x^n+1n+1 + C.
  2. integral x ,dx = 12x^2
    Mesma regra da potência aplicada com n=1.
  3. integral 3 ,dx = 3x
    A integral de uma constante é a constante vezes x.
  4. integral 3x - 1 ,dx = 3 ln|x - 1|
    Aqui usamos a fórmula da integral integral 1u ,du = ln|u| + C, onde u = x - 1.

Passo 5

Agora, juntando todas as partes integradas:
13x^3 + 12x^2 + 3x + 3ln|x - 1| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de x^3 + 2xx - 1 é:
13x^3 + 12x^2 + 3x + 3ln|x - 1| + C

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